计算复杂性领域如何发展第 1 部分

随机组合和小偏差极小极大（ arXiv )

作者： 沙列夫·本·戴维 , 埃里克·布莱斯 , 米卡·戈斯 , 吉尔伯特·梅斯特

抽象的： 我们证明了关于随机查询复杂度 R(f) 的两个结果。首先，我们引入一个线性化复杂度度量 LR，并证明它满足内部最优组合定理：对于所有部分 f 和 g，以及 LR，R(f ◦g) ≥ Ω(R(f)LR(g))是具有此属性的最大可能度量。特别是，LR 可以比以前满足内部组合定理的度量在多项式上更大，例如 Gavinsky、Lee、Santha 和 Sanyal 的最大冲突复杂度 (ICALP 2019)。

我们的第二个结果解决了姚的问题（FOCS 1977）。他询问 ε-error 预期查询复杂度 Rε(f) 是否承认相对于某些硬输入分布的分布特征。 Vereshchagin (TCS 1998) 在有界错误情况下肯定地回答了这个问题。我们证明了一个类似的定理在小偏差情况下失败了 ε = 1/2 - o(1)。

关于稀疏命中集：从 Fair Vertex Cover 到 Highway Dimension( arXiv )

作者： 约翰内斯·布鲁姆 , 扬·迪瑟 , 安德烈亚斯·埃米尔·费尔德曼 , 悉达多·古普塔 , Anna Zych-Pawlewicz

抽象的： 我们考虑稀疏命中集 (Sparse-HS) 问题，其中给定一个集合系统 (V, F, B)，其中包含宇宙 V 子集的两个族 F、B。任务是为 F 找到一个命中集，使 B 的任何集合中元素的最大数量最小化。这概括了文献中研究过的几个问题。我们的重点是确定 Sparse-HS 的这些特殊情况中的一些相对于 稀疏性 k，即任意B集合中命中集合元素的最优个数（即目标函数的值）。对于稀疏顶点覆盖（Sparse-VC）问题，全域由a的顶点集合V给出图，F 是它的边集。我们证明了稀疏度 k ≥ 2 的 NP-hardness 和 k = 1 的多项式时间可解性。我们还为任何 k 提供了多项式时间 2 近似。 Sparse-VC 的一个特例是 Fair Vertex Cover (Fair-VC)，其中 B 族由顶点邻域给出。对于这个问题，它是否是由稀疏度 k 参数化的 FPT（甚至 XP）都是开放的。我们通过证明常数 k 的 NP 硬度来否定地回答这个问题。我们还为 Fair-VC 提供了多项式时间 (2 - k1 ) 近似，它优于 Sparse-VC 或顶点覆盖问题（在 UGC 下）的任何可能近似。
然后，我们切换到与 Sparse-HS 相关的一组不同的问题。 公路尺寸 ，这是一个图参数建模交通网络。近年来，越来越多的文献展示了用于低公路尺寸图的有趣算法。为了利用此类图的结构，它们中的大多数计算 r-Shortest Path Cover (r-SPC) 问题的解决方案，其中 r > 0，F 包含 r 和 2r 之间的所有最短路径，B 包含所有半径球2r。众所周知，如果输入图的高速公路维度为 h，则有一种 XP 算法可以计算 r-SPC 的稀疏度最多为 h 的解。然而，不知道是否也存在相应的 FPT 算法。我们证明了 r-SPC 和相关的 r-Highway Dimension (r-HD) 问题，可以用来正式定义图的高速公路维度，都是 W[1]-hard。此外，根据亚伯拉罕等人的结果。 [ICALP 2011] 有一种用于 r-HD 的多项式时间 O(log k) 逼近算法，但对于 r-SPC，这种算法是未知的。我们证明 r-SPC 承认多项式时间 O(log n) 近似。

小顶点覆盖图的参数化复杂度二进制 CSP 及相关结果 ( arXiv )

作者： 汉斯·L·博德兰德

抽象的： 在本文中，我们展示了以顶点覆盖大小为参数的二进制 CSP 对于类 W[3] 是完整的。这是自然 W[3] 完全问题的第一个示例，它不是可满足性的变体。我们通过证明技术的变化获得了许多相关结果，其中包括：对于 W[2d+1]，二进制 CSP 是完整的，其参数是树深度 c 或深度 d 的森林图的顶点调制器的大小，对于常数 c ≥ 1，W[t]-hard 对于所有 t ∈ N，以树宽为参数，对于 W[SAT]，以反馈顶点为参数。作为推论，我们给出了 W-hierarchy for List Coloring 在不同参数化下的类的一些硬度和隶属问题

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