高等数学 - 积分法

高等数学 - 积分法

积分法主要有两大类，换元法和分部积分法。由于积分运算并不是一个很直观的运算，因此将积分法的一些结论列于此，方便理解。

关于不定积分和定积分

• 不定积分属于求导的逆运算，即若 $F'(x)=f(x)$ ，则 $\int f(x)\text{d}x=F(x)+C$ 。不定积分的结果是函数。
• 定积分是求值的式子，通过微元法定义。定积分的结果是一个值，几何表示是面积。
• 不定积分可以看作是定积分运算的技巧（因为定积分可以先求出不定积分（原函数），然后求值）。
• $\int_a^bf(x)\text{d}x=F(b)-F(a)=\int f(x)\text{d}x|_a^b$ ，或者 $(\int_a^xf(x)\text{d}x)'=f(x)$ ，或者 $\int_a^xf(x)\text{d}x=\int f(x)\text{d}x$ 是两者之间的联系。

不定积分第一类换元法

• 设 $f(u)$ 具有原函数，$u=\varphi(x)$ 可导，则有换元公式 $\int f[\varphi(x)]\varphi' (x)\text{d}x=\int f(u)\text{d}u,u=\varphi (x)$ 。

原理：假设 $f(u)$ 具有原函数 $F(u)$ ，即 $F'(u)=f(u)$ ，$\int f(u)\text{d}u=F(u)+C$ 。根据复合函数的微分法，有 $dF(u)=f(u)\text{d}u=f[\varphi(x)]\varphi' (x)\text{d}x$ ，由 $df(x)=f'(x)\text{d}x ，$也即 $f[\varphi (x)]\varphi' (x)$ 是 $F(x)$ 的导数（或者反过来说是原函数），因此由不定积分定义（原函数）有结论成立。

• 第一类换元法的目的在于将被积表达式看成是某种复合函数，从而降低函数嵌套的层次。

例子：求 $\int (2x)^2\text{d}x$ 。

解：$\int (2x)^2\text{d}x=\frac{1}{2}\int (2x)^2\text{d}(2x)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}(2x)^3=\frac{4}{3}x^3$ 。

不定积分第二类换元法

• 设 $x=\psi (t)$ 是单调的可导函数，并且 $\psi' (t)\ne 0$ ，又设 $f[\psi (t)]\psi' (t)$ 具有原函数，则有换元公式 $\int f(x) \text{d}x=\int f[\psi(t)]\psi'(t)\text{d}t,t=\psi^{-1}(x)$ 。

原理：
$\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=\frac{1}{\text{d}t/\text{d}x}$ ，即 $\psi'(x)=\frac{1}{\psi^{'-1}(t)}$ 。
记 $f[\psi (t)]\psi' (t)$ 的原函数为 $\Phi(t)$ ，则 $\Phi'(x)=\frac{\text{d}\Phi}{\text{d}t}\frac{\text{d}t}{\text{d}x}=f[\psi (t)]\psi' (t)\frac{1}{\psi'(x)}=f(x)$ 。得证。

• 第二类换元法说明，直接将积分变量看成某个单调函数，可以直接替换。
• 第二类换元法的目的在于将被积表达式利用换元调整为更加简单的形式。

例子：$\int \sqrt{1-x^2}\text{d}x$ ，取 $x=\sin t,(t\in [0,\frac{\pi}{2}])$ ，则为 $\int \cos t \text{d}\sin t=\int \cos^2 t\text{d}t$ 。（具体求法可以参考高等数学-常用结论）。

不定积分分部积分法

• 设有可导函数 $u(x),v(x)$ ，则有 $\int u\text{d}v=uv-\int v\text{d}u$ 。
• 原理：有函数乘积的导数有 $(uv)'=u'v+uv'$ ，也即 $uv'=uv-u'v$ 。两边同时积分则有结论。
• 分部积分法适合被积表达式中存在求导后具有形式不变特征的积分求解。

例子：求 $\int xe^x\text{d}x$

解：被积表达式中有 $(e^x)'=e^x$ ，故原式可化为 $\int x(e^x)'\text{d}x=xe^x-\int e^x\text{d}x=xe^x-e^x$ 。

定积分的换元法

• 假设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，函数 $x=\varphi(t)$ 满足条件：
  （1）$\varphi(\alpha)=a,\varphi(\beta)=b$；
  （2）$\varphi(t)$ 在 $[\alpha,\beta]$ （或 $[\beta,\alpha]$）上具有连续导数，且其值域为 $R_\varphi=[a,b]$ ，则有 $\int_a^{b}f(x)\text{d}x=\int_\alpha^\beta f[\varphi(t)]\varphi'(t)\text{d}t$ 。

证明：假设 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数，取 $\Phi(t)=F(\varphi(t))$ ，有 $\Phi'(t)=F'(\varphi(t))\varphi'(t)$ ，也即 $\Phi(t)$ 是 $f[\varphi(t)]\varphi'(t)$ 的一个原函数。$\Phi(\beta)-\Phi(\alpha)=F(\varphi(\beta))-F(\varphi(\alpha))=F(b)-F(a)$ ，也即得证。

• 定积分换元法和不定积分第二类换元法类似，但是不定积分要求单调。这是因为定积分的计算式包含了方向，也即如果变换函数出现了和原来的变量反向的积分，那么也不会影响最终积分的结果。定积分实际上是按照按坐标的曲线积分在计算。因此当变换函数不单调时，折返的积分被抵消掉了，最终结果只与起点和终点的位置有关。（可以进一步思考，暂留），参考题集，2017,19 。
• 也即定积分换元就是将积分变量用一个函数替代，同时将积分的上下限替换即可。

定积分的分部积分法

• 假设 $u(x),v(x)$ 可导，则有 $\int_a^bf(x)uv'\text{d}x=[uv]_a^b-\int_a^bu'v\text{d}x$ 。

原理：通过不定积分的分部积分法，两边同时定积分即可。