高等数学 - 无穷级数

高等数学 - 无穷级数

整理一些无穷级数相关的知识点

目录

• 高等数学 - 无穷级数
  • 1 收敛级数
  • 2 正项级数
  • 3 交错级数
  • 4 绝对收敛和条件收敛
  • 5 幂级数
  • 6 函数展开成幂级数
  • 7 欧拉公式
  • 8 傅立叶级数
    • 8.1 三角函数系
    • 8.2 展开成傅立叶级数
  • 例子

1 收敛级数

• 极限存在的条件

  • （夹逼准则）如果数列 $\{xn\}$ ，$\{y_n\}$ ，$\{z_n\}$ 满足下列条件：
    （1）从某项起，即 $\exist n_0\in \N^+$ ，当 $n>n_0$ 时，有 $x_n<y_n<z_n$ ；
    （2）$\lim\limits_{n\to \infin}x_n=\lim\limits_{n\to \infin}z_n=a$ ；
    则 $\{y_n\}$ 的极限存在，且 $\lim\limits_{n\to \infin}y_n=a$ 。
  • 单调有界数列必有极限。
  • （柯西审敛原理）数列 $\{x_n\}$ 收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数 $\varepsilon$ ，存在正整数 $N$ ，使得当 $m>N,n>N$ 时，有 $|x_n-x_m|<\varepsilon$ 。

• 级数收敛的定义（极限与收敛的联系）：如果级数 $\displaystyle\sum_{i=1}^{\infin}a_i$ 的部分和数列 $\{s_n\}$ 有极限 $s$ ，即 $\lim\limits_{n\to \infin}s_n=s$ ，那么称无穷级数 $\displaystyle\sum_{i=1}^{\infin}a_i$ 收敛，这时极限 $s$ 叫做这级数的和，并写成 $s=a_1+a_2+...$ 。如果 $\{s_n\}$ 没有极限，那么称无穷级数 $\displaystyle\sum_{i=1}^{\infin}a_i$ 发散。

• 级数收敛的一个必要条件：若有无穷级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infin}a_n$ 收敛，则有 $\lim\limits_{n\to \infin}a_n=0$ 。

  证明：记部分和为 $s_n$ ，且 $\lim\limits_{n\to \infin}s_n=s$ ，则有 $\lim\limits_{n\to \infin}a_n=\lim\limits_{n\to \infin}(s_n-s_{n-1})=s-s=0$ 。

• 如果级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infin}u_n$ 收敛于和 $s$ ，那么级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infin}ku_n$ 也收敛，且收敛于和 $ks$ 。

• 如果级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infin}u_n$ 和 级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infin}v_n$ 分别收敛于 $s$ 和 $\sigma$ ，则级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infin}(u_n\pm v_n)$ 收敛，且收敛于 $s+\sigma$ 。

• 在级数中去掉、加上或改变任意有限项，不改变级数的收敛性。

• 如果级数收敛，则对级数中的项任意加括号后形成的级数仍然收敛，且收敛和不变。

• （收敛的充要条件，柯西审敛原理）对于任意给定的正数 $\varepsilon$ ，总存在正整数 $N$ ，当 $n>N$ 时，对任意正整数 $p$ 有 $|u_{n+1}+u_{n+1}+...+u_{n+p}|<\varepsilon$ 。

2 正项级数

• 正项级数收敛 $\iff$ $s_n$ 有界。
• 若 $\sum u_n$ 和 $\sum v_n$ 都是正项级数，且 $u_n<v_n$ ，则若级数 $\sum v_n$ 收敛，则级数 $\sum u_n$ 收敛，若级数 $\sum u_n$ 发散，则级数 $\sum v_n$ 发散。（推论：当 $u_n<kv_n$ 时，也成立。）
• 若 $\sum u_n$ 和 $\sum v_n$ 都是正项级数，若 $\lim\limits_{n\to \infin}\frac{u_n}{v_n}=l,l\ge0$ ，$\sum v_n$ 收敛，则 $\sum u_n$ 收敛。若 $\lim\limits\frac{v_n}{u_n}=l,l>0或l=+\infin$ ，若级数 $\sum v_n$ 发散，则级数 $\sum u_n$ 发散。
• （比值审敛法）设 $\sum u_n$ 为正项级数，若 $\lim\limits_{n\to \infin}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$ ，则当 $\rho<1$ 时级数收敛，$\rho>1$ 时级数发散，$\rho=1$ 时需要进一步讨论。
• （根值审敛发）设 $\sum u_n$ 为正项级数，若 $\lim\limits_{n\to \infin}\sqrt[n]{u_n}=\rho$ ，则当 $\rho<1$ 时级数收敛，$\rho>1$ 时级数发散，$\rho=1$ 时需要进一步讨论。

3 交错级数

• 若交错级数 $\sum (-1)^{n-1}u_n$ 满足条件：（1）$u_n\ge u_{n+1}$ ，（2）$\lim\limits_{n\to \infin}u_n=0$ ，则交错级数收敛，且和 $s\le u_1$ ，余项 $r_n$ 满足 $|r_n|\le u_{n+1}$ 。

4 绝对收敛和条件收敛

• 绝对收敛和条件收敛：对级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infin}a_n$ ，若 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infin}|a_n|$ 收敛，则称其绝对收敛；若其收敛，但不绝对收敛，则称为条件收敛。

• 绝对收敛$\implies$条件收敛：

  证明：
  取 $v_n=|a_n|+a_n$ ，则有
  $\begin{cases} v_n \ge 0 \\ v_n \le 2|a_n| \end{cases}$
  故 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infin}v_n$ 收敛，故 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infin}a_n=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infin}(v_n-|a_n|)$ 收敛。
  故得证。

5 幂级数

• 阿贝尔定理：若 $x=x_0$ 时，幂级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infin}a_nx^n$ 收敛，则对所有满足 $|x|<|x_0|$ 的 $x$ 有幂级数绝对收敛。反之，若 $x=x_0$ 时，幂级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infin}a_nx^n$ 发散，则对所有满足 $|x|>|x_0|$ 的 $x$ 有幂级数发散。

  证明：
  第一个命题，由收敛有 $\lim\limits_{n\to \infin}a_nx_0^n=0$ ，则有常数 $M$ 满足 $|a_nx_0^n|<M$ 。则 $|a_nx^n|=|a_nx_0^n\frac{x^n}{x_0^n}|<M|\frac{x^n}{x_0^n}|$ 。
  由于 $M|\frac{x^n}{x_0^n}|$ 为比小于1的等比级数，因此收敛，即绝对收敛。
  第二个命题，$x=x_0$ 时发散，假设存在 $x_m>x_o$ ，使 $x=x_m$ 时收敛，由第一个命题可以得到 $x=x_0$ 时收敛，与前提矛盾，因此发散。

• 收敛半径：设幂级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infin}a_nx^n$ 满足：

  • $|x|<R$ 时，绝对收敛
  • $|x|>R$ 时，发散
  • $|x|=R$ 时，可能收敛也可能发散
    则称 $R$ 为级数的收敛半径。

• 如果 $\lim\limits_{n\to \infin}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\rho$ ，其中 $a_n,a_{n+1}$ 是幂级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infin}a_nx^n$ 的相邻两项的系数，则幂级数的收敛半径为 $R=\begin{cases} \displaystyle\frac{1}{\rho}, & \rho\ne 0 \\ +\infin, & \rho=0 \\ 0, & \rho=+\infin \end{cases}$

6 函数展开成幂级数

• 泰勒中值定理：如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处具有 $n$ 阶导数，那么存在 $x_0$ 一个邻域，对于该邻域内的任一 $x$ ，有

$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{(2)}(x-x_0)^2}{2!}...+\frac{f^{(n)}(x-x_o)^n}{n!}+R_n(x-x_0)$$

其中，$R_n(x-x_0)=o((x-x_o)^n)$ 称为佩诺亚余项。
若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处具有 $n+1$ 阶导数，那么 $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}$ ，$\xi$ 是介于 $x$ 和 $x_0$ 之间的某个值。这个余项称为拉格朗日余项。

• 利用泰勒中值定理可以将函数展开成幂级数，设 $f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+...+a_n(x-x_0)^n$ ，有 $a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$ ，条件是余项 $R_n(x-x_0)$ 极限为0 。

7 欧拉公式

• $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...+\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}+...$

• $\cos x=(\sin x)'=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-...+\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}+...$

• $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}+...$

取 $z=x+y\text{i}$ ，则可以定义复平面上的指数函数 $e^z=1+z+\frac{z^2}{2!}+...+\frac{z^n}{n!}+...$ ，取 $z=y\text{i}$ ，则有 $e^{y\text{i}}=1+y\text{i}-\frac{y^2}{2!}-\frac{y^3\text{i}}{3!}+\frac{y^4}{4!}+\frac{y^5\text{i]}}{5!}+...=\cos y+i\sin y$ 。
即得到欧拉公式：

$$e^{\text{i}x}=\cos x+\text{i}\sin x$$

8 傅立叶级数

8.1 三角函数系

$\{1,\cos x,\sin x,\cos 2x,\sin 2x,...,\cos nx,\sin nx,...\}$ 称为三角函数系。
从三角函数系中任意取两个不同的函数并乘积，其在 $[-\pi,\pi]$ 上的积分为 $0$ 。

8.2 展开成傅立叶级数

假设 $f(x)$ 是周期为 $2\pi$ 的周期函数，且能被展开成三角级数 $f(x)=\displaystyle\frac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{k=1}^{\infin}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)$ 。

两边积分，有
$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\text{d}x=a_0\pi$ ，即 $a_0=\frac{1}{\pi}\cdot \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\text{d}x$ 。

两边同乘 $\cos nx$ ，并积分则有
$\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx\text{d}x=a_n\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2 (nx)\text{d}x=a_n\pi$ 。

即有
$a_n=\frac{1}{\pi}\cdot \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\text{d}x,n=0,1,2,...$ 。

两边同乘 $\sin nx$ ，并积分有
$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\text{d}x=\int_{-\pi}^{\pi}b_n\sin^2n=b_k\pi$ 。

即有
$b_n=\frac{1}{\pi}\cdot \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\text{d}x,n=1,2,...$ 。

如果对应 $a_n,b_n$ 的积分都存在，则系数 $a_0,a_1,b_1,...$ 叫做傅立叶系数，对应的三角级数 $\displaystyle\frac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{k=1}^{\infin}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)$ 称为傅立叶级数。

定理（收敛定理）设 $f(x)$ 是周期为 $2\pi$ 周期函数，如果满足：
（1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，
（2）在一个周期内至多只有有限极值点
则 $f(x)$ 的傅立叶级数收敛，且
当 $x$ 是 $f(x)$ 的连续点时，级数收敛于 $f(x)$；
当 $x$ 是 $f(x)$ 的间断点时，级数收敛于 $\frac{1}{2}[f(x^-)+f(x^+)]$ 。

例子

• 无穷级数求和时，可以利用求导、积分运算，以及看作是积分的定义式。