高等数学 - 变限积分

高等数学 - 变限积分

说明：积分上限的函数连同复合函数总是不熟悉，特总结于此。

目录

• 高等数学 - 变限积分
  • 1 前驱
    • 1.1 积分上限的函数的性质
    • 1.2 复合函数的求导
  • 2 积分上限为复合函数的函数求导

1 前驱

1.1 积分上限的函数的性质

性质1 如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则其积分上限的函数 $\Phi(x)=\int_a^xf(t)\text{d}t$ 在 $[a,b]$ 上可导，且满足 $\Phi'(x)=f(x)$ 。

证明：$\Delta\Phi=\Phi(x+\Delta x)-\Phi(x)$
$=\int_a^{x+\Delta x}f(t)\text{d}t-\int_a^{x}f(t)\text{d}t$
$=\int_a^xf(t)\text{d}t+\int_x^{x+\Delta x}f(t)\text{d}t-\int_x^{x+\Delta x}f(t)\text{d}t$
$=\int_x^{x+\Delta x}f(t)\text{d}t$

由积分中值定理，有
$\Delta\Phi=f(\xi)\Delta x$
其中, $\xi \in [x,x+\Delta x]$

即 $\frac{\Delta \Phi}{\Delta x}=f(\xi)$

两边取极限 $x\to 0$ ，则有
$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta \Phi}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}f(\xi)=f(x)$

即 $\Phi'(x)$ 存在且为 $f(x)$ 。

性质2 如果 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $\Phi(x)=\int_a^xf(t)\text{d}t$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。

这个性质可以直接有性质1推导出来。

1.2 复合函数的求导

性质1：如果 $u=g(x)$ 在点 $x$ 可导，而 $y=f(u)$ 在点 $u=g(x)$ 可导，那么复合函数 $y=f[g(x)]$ 在点 $x$ 可导，且其导函数为
$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{\text{d}y}{\text{d}u}\cdot \frac{\text{d}u}{\text{d}x}$

证明：由可导条件，有 $\frac{\Delta y}{\Delta u}=f'(u)+\alpha(\Delta u)$，
即 $\Delta y=f'(u)\Delta u+\alpha(\Delta u)\Delta u$

两边同时除以 $\Delta x$ ，有
$\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(u)\frac{\Delta u}{\Delta x}+\alpha(\Delta u)\frac{\Delta u}{\Delta x}$

考虑 $\Delta x\to 0$ ，有
$\lim\limits_{\Delta x\to 0}\alpha(\Delta u)=\lim\limits_{\Delta u \to 0}\alpha(\Delta u)=0$

故 $\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}f'(u)\frac{\Delta u}{\Delta x}$

即 $y'(x)=f'(u)u'(x)$

或者 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{\text{d}y}{\text{d}u}\cdot \frac{\text{d}u}{\text{d}x}$

2 积分上限为复合函数的函数求导

如果理解了复合函数的求导，此时就很简单了。

题目原型：记目标函数为 $y=\int_{a}^{g(x)}f(x)\text{d}x$ ，求其导数 $y'(x)$

解：目标函数可写作 $y=\int_{a}^{g(x)}f(t)\text{d}t$ ，改写成复合函数的形式，即：

$\begin{cases} y=\int_{a}^{u}f(t)\text{d}t \\ u=g(x) \end{cases}$

则有：
$y'(x)=y'(u)u'(x)=f(u)g'(x)=f(g(x))g'(x)$

扩展：记目标函数为 $f(x,y)=\int_a^{g(x,y)}f(x,y)\text{d}x$，求 $\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}$
解：$\implies \int_a^{g(x,y)}f(t,y)\text{d}t$ ，写成复合函数的形式：

$\begin{cases} u=g(x,y) \\ f(x,y)=\int_a^{u}f(u,y)\text{d}u \end{cases}$

故 $\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x}=f(u,y)u'(x)=f(g(x,y),y)g'_x(x,y)$ ，然后再求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 。

例一：（2020考研数学一）设函数 $f(x,y)=\int_0^{xy}e^{xt^2}\text{d}t$ ，则 $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}|_{(1,1)}=?$

解：$\frac{\partial f}{\partial y}=e^{x(xy)^2}\cdot x=xe^{x^3y^2}$ ，则 $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=e^{x^3y^2}+3x^3e^{x^3y^2}=4e$ 。
解2：$\frac{\partial f}{\partial x}=?$