[LA 3263] 细节处理，欧拉定理

大概就是给你若干个点描述一个轨迹，这个轨迹的终点一定是和起点重合的

然后问你分成了几个平面区域

这个问题用到了欧拉定理，妙啊！

平面图的欧拉定理（不得不说欧拉牛逼啊）

E是棱的个数，其实可以理解成边，F是区域的个数，这里理解为边划分成的区域，E是顶点，也就是图论中的顶点。

至于什么是平面图，不解释了

然后代码的细节处理也要关注

1.顶点个数的考量

当然给定的这个轨迹可能有自己和自己相交，所以枚举一遍所有的线段，然后N^2求交点即可，

当然交点有可能被算了若干次，这里使用uNIQUE除去多余的就行，注意精度判断问题啊！！！

点有了，那么棱到底有多少个呢

虽然我们开始的时候搞了多余的点，但是开始一笔画的笔画数还是知道的，就是n-1

但是，这里的棱不是线段，如果三点共线当然是要算两条棱的

又到了喜闻乐见的枚举时间了，

其实也很简单，把加进来的顶点挨个询问一遍是不是在已经有的这些笔画上面，如果有的话就是一个三点共线，那么把棱数加一就行

这样子是不会重复计数的

最后解方程，小学知识咯

顺便说一下Unique的使用，要先SORT，然后就知道了

Unique使用的时候也是像SORT一样指定起止

const int maxn=405;
int n;
Point P[maxn],V[maxn*maxn];//V是交点的数量（交点也算顶点啊歪歪歪！）
 //P是顶点的数量 
 int cas; 
void solve()
{
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        scanf("%lf%lf",&P[i].x,&P[i].y);
        V[i]=P[i];//顶点肯定是交点 
    }
    n=n-1;
    int c=n,e=n;
    for(int i=0;i<n;i++)
    for(int j=i+1;j<n;j++)
    {
        if(SegmentProperIntersection(P[i],P[i+1],P[j],P[j+1]))//不必注意越界的问题 因为是一笔画！ 
        {
        //    cout<<"EWraerdgth\n";
            V[c++]=GetLineIntersection(P[i],P[i+1]-P[i],P[j],P[j+1]-P[j]);//已经保证规范相交，所以不用担心，只要算出交点就是的，更不用担心线段和直线的区别 
        }
    }
    sort(V,V+c);
    c=unique(V,V+c)-V;
     for(int i=0;i<c;i++)
     for(int j=0;j<n;j++)
     {
         if(OnSegment(V[i],P[j],P[j+1]))//这里的欧拉定理用的是在图上的表示，所以其实并不是所有的边数，而是棱，所以三点共线算两个！ 至于为什么是棱的话，画一下图就知道了 
         e++;
     }
     printf("Case %d: There are %d pieces.\n",++cas,e+2-c);
     return;
}
int main()
{
    while(cin>>n)
    {
        if(n) 
        solve();
        else
        break;
    }
//    while(1);
    return 0;
      }