随机变量与随机过程

1、随机变量：

考虑一个随机试验，其样本空间为𝛀。一个随机变量X是一个函数，它给S中的每个结果指定一个实数。

即X={X(𝛚),𝛚∈𝛀}

2、随机过程（Stachastic Process）:

X={X(t,𝛚),t∈T,𝛚∈𝛀}

(1)可以看成一组随机变量的集合（固定t）：一个随机过程X={X(t),t∈T}是一族随机变量，即对指标集T中的每个t，X(t)是一个随机变量。我们常常把t解释为时间，且称X(t)是过程在时刻t的状态。

怎么理解固定t？

几何上理解，想象横坐标为t，纵坐标为𝛚的坐标系，X(t,𝛚)则为坐标系上无限条线（假设T,𝛀连续），固定t值，即仅看某一个t上𝛚的取值，有的地方比较聚集，有的地方相对分散。

(2)也可以看成一组样本函数的集合（固定𝛚）：X={X(𝛚),𝛚∈𝛀}。怎么理解固定𝛚？

几何上理解，想象如上坐标系，固定𝛚值，即只看某一纵坐标值下t的取值，有的时刻t发生该𝛚的次数多，有的少。

（还不确定从几何上去理解是否适合，这么理解是否正确）

样本函数（轨道）：X(∙,𝛚):T→𝛀

(3)

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(5)助于理解：

确定性过程研究一个量随时间确定的变化，而随机过程描述的是一个量随时间可能的变化，在这个过程里，每一个时刻变化的方向都是不确定的，或者说随机过程就是由一系列随机变量组成，每一个时刻系统的状态都由一个随机变量表述，而整个过程则构成态空间的一个轨迹（随机过程的实现）。

一个随机过程最终实现，会得到一组随时间变化的数值（态空间里的轨迹），实践中我们都是从数据结果中推测一个随机过程的性质的。

刚说过概率是建立在可重复性上，是一个理想模型，而建立在此上的随机过程就更是一个理想化的模型，它暗含的是历史可无限重复，然后你把他们收集在一起看一看。我在一开头的说的充满分叉小径的花园是一种比喻，但说的也是你需要站在平时时空（每一个时空包含一种历史的可能性）的角度来看一个随机过程的全貌。

我们立刻发现这是一个超级复杂的问题，因为一个随机过程具有无限多可能性。试想象一个最简单的随机过程，这个过程由N步组成，每一步都有两个选择（0，1），那么可能的路径就有2的N次方个，这个随机过程就要由2^N-1个概率来描述(概率只和为一减掉一个维度)，用数学物理的语言就是极高维度的问题。

(6)增量（increment）

An increment of a stochastic process is the difference between two random variables of the same stochastic process. For a stochastic process with an index set that can be interpreted as time, an increment is how much the stochastic process changes over a certain time period. For example, if $\{X(t):t\in T\}$ is a stochastic process with state space $S$ and index set $T=[0,\infty )$ , then for any two non-negative numbers $t_{1}\in [0,\infty )$ and $t_{2}\in [0,\infty )$ such that $t_{1}\leq t_{2}$ , the difference $X_{t_{2}}-X_{t_{1}}$ is a $S$ -valued random variable known as an increment. When interested in the increments, often the state space $S$ is the real line or the natural numbers, but it can be $n$ -dimensional Euclidean space or more abstract spaces such as Banach spaces.