时域离散信号的傅里叶变换

目录

    1 定义

    2 FT的周期性

        2.1 从数学的观点分析

        2.2 从采样角度—实际意义上分析

            2.2.1 采样后的连续傅里叶频谱

            2.2.2采样后的离散傅里叶频谱

    3 matlab实验

        3.1 程序及分析

        3.2 实验结果

1、定义                                                                             

2、FT的周期性                                                                   

2.1 从数学观点分析

2.2 从采样角度—实际意义上分析

2.2.1 采样后的连续傅里叶频谱

    采样信号在连续时域中的表达式：

    对应的在模拟频域中的图像：

2.2.2采样后的离散傅里叶频谱

    得到的x^a(t)还不是最终存储在数字设备上的数，最终存储的信号是x^a(n)。x^a(t)量化后为x^a(n)，只会存储其离散的时间（n），以及对应的值x^a(n)。

    在这过程中，丢失了真正的时间间隔（两个n之间的时间间隔T=1/Fs），在程序设计中需要用采样频率Fs来记录下来。可以认为x^a(n)是x^a(t)拉伸Fs(1/T)倍形成的，那么频谱相应的要压缩Fs倍。

    在2.2.1中可以看到，x^a(t)的频谱是以为周期延拓的，所以x^a(n)的频谱就应该以延拓的，FT变换的周期为就是这样来的。

    下边的两个式子，在程序设计和理解程序中经常用到。

（1）

（2）

3、matlab实验                                                                

3.1 程序及分析

   计算公式：

    实验对象：R4(n)

    FT实现方法：定义法

 N=4;                         %原离散信号有4点
 n=[0:1:N-1]
 xn=[1 1 1 1]
 w=[-800:1:800]*pi/800;       %频域共-pi -- +pi(-800----+800)的长度（本应是无穷，高频分量很少，故省去）    
 X=xn*exp(-j*(n'*w));         %求dtft变换，采用原始定义的方法，对复指数分量求和而得
 subplot(2,1,1);
 stem(n,xn);
 title('原始信号');
 subplot(2,1,2);
 plot(w,abs(X));
 title('DTFT变换');

说明

    程序的第5行就是根据计算公式的实现的算法，在matlab上就是利用矩阵的乘法实现整个算法。按照先后顺序展开计算过程如下所示。

（1）计算exp(-j*(n'*w))

（2）计算 X=xn*exp(-j*(n'*w));  

3.2 实验结果

 说明

（1）程序的第4行，w的取值就是从(-pi,pi)，所以频谱图中的有效范围是（-3.14,3.14）。

（2）对(-pi,pi)区间划分了1600份，来近似连续的（无线细分）w。

 

参考：用matlab对信号进行傅里叶变换

        西电《数字信号处理》第三版