2024.10.10 高代习题课

因为我觉得有点难，所以写之。只能说有些人的智商水平就这样了，不是说来到一个平均智商更高的地方就能解决的。

练习 1：

因式分解下面行列式的值：

$$\begin{vmatrix} \ 0 & x & y & z\ \\ \ x & 0 & z & y\ \\ \ y & z & 0 & x\ \\ \ z & y & x & 0\ \\ \end{vmatrix}$$

显然该行列式的值是四次的。这个答案必然比较复杂，我们考虑试出其因式

将第 $2,3,4$ 列加到第 $1$ 列，可以提出因式 $x+y+z$，不妨将这个操作记作 $1+2+3+4$；$1+2-3-4$ 可以提出 $x-y-z$，$2-1+3-4$ 可以提出 $x+y-z$，$2-1-3+4$ 可以提出 $x-y+z$。

猜测答案为 $c(x+y+z)(x-y-z)(x+y-z)(x-y+z)$，$c$ 是一个常数。

将 $x=0,y=0,z=1$ 带入，易知 $c=1$。答案为 $(x+y+z)(x-y-z)(x+y-z)(x-y+z)$。

练习 2：

$$A= \begin{pmatrix} \ a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n}\ \\ \ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n}\ \\ \ \vdots & \vdots & & \vdots\ \\ \ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n}\ \\ \end{pmatrix}$$

已知 $\displaystyle |a_{i,i}|>\sum_{j \neq i} |a_{i,j}|$，证明 $|A| \neq 0$。

只需证列向量 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$ 线性无关即可。

反证，若其线性相关，则方程 $k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\dots+k_n\alpha_n$ 有非零解。不妨令 $|k_1| = \max\{|k_1|,|k_2|,\dots,|k_n|\}$。

那么有 $\displaystyle a_{1,1} = - \sum_{j \neq 1} \frac{k_j}{k_1} a_{1,j}$，则 $\displaystyle |a_{1,1}| \leq \sum_{j \neq 1} |\frac{k_j}{k_1}| |a_{1,j}| \leq \sum_{j \neq 1} |a_{1,j}|$，矛盾。

练习 3（Lagrange 插值）：

给定 $n$ 个两两不同的数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 和另外 $n$ 个数 $b_1,b_2,\cdots,b_n$，证明 $\forall i, f(a_i)=b_i$ 的 $n-1$ 次多项式 $f(x)$ 唯一。

设 $f(x) = c_1+c_2x+c_3x^2+\cdots+c_nx^{n-1}$，将 $x=a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 带入，可以得到一个线性方程组。

注意到这个系数矩阵是范德蒙德矩阵，而 $a$ 两两不同，行列式值不为 $0$，显然有唯一解。

练习 4：

求出所有的 $2024$ 次首一多项式 $f(x)$，满足 $f(x)$ 的每个复根 $x_k$，都有非常值首一多项式 $g_k(x),h_k(x)$ 满足 $f(x) = (x-x_k)g_k(x)h_k(x)$ 且 $g_k(x),h_k(x)$ 的次高项系数相同。

首先观察到 $f(x) = x^{2024}$ 满足题意。考虑证明其唯一性。

记 $g_k(x)$ 的根为 $p_1,p_2,\cdots,p_{n_k}$，$h_k(x)$ 的根为 $q_1,q_2,\cdots,q_{m_k}$。显然 $x_k,p_1,p_2,\cots,p_{n_k},q_1,q_2,\cdots,q_{m_k}$ 为 $x_1,x_2,\cdots,x_{2024}$ 的重新排列。

记 $g_k(x)$ 的次高项系数为 $a_k$。$a_k = -(p_1+p_2+\cdots+p_{n_k}) = -(q_1+q_2+\cdots+q_{m_k})$。

由 $a_k$ 的这个等式，左减右可以得到一个方程，也即 $\displaystyle \sum_{j\neq k} c_{kj}x_j = 0$，其中 $c_{kj}=1$ 或 $-1$。只需要证 $x$ 没有非零解即可。

然而 $C$ 长什么样子我们不知道，但是我们可以注意到 $|C| \mod 2 = 1$，所以 $|C| \neq 0$，无非零解。

练习 5：

直接给出结论：对行列式求导等于对行列式里的每个函数求导之后求行列式。

练习 6（Sylvester's Identity 推论）：

推论：若 $\det((a_{i,j})_{(n-m)^2})=0$，则 $\det_{1 \leq k,l \leq m}[\det[S_m(k,l)]] = 0$。

由条件知左上角的方阵行向量线性相关，所以简单消元消掉第 $r$ 行（$1 \leq r \leq n-m$），系数为 $\lambda_i$（显然 $\lambda_r = 1$）。

事实上的 $k,l$ 独立，所以提取系数之后可以发现行列式为 $0$。