2024.10.10 高代习题课

因为我觉得有点难，所以写之。只能说有些人的智商水平就这样了，不是说来到一个平均智商更高的地方就能解决的。

练习 1：

因式分解下面行列式的值：

\[\begin{vmatrix} \ 0 & x & y & z\ \\ \ x & 0 & z & y\ \\ \ y & z & 0 & x\ \\ \ z & y & x & 0\ \\ \end{vmatrix} \]

显然该行列式的值是四次的。这个答案必然比较复杂，我们考虑试出其因式

将第 \(2,3,4\) 列加到第 \(1\) 列，可以提出因式 \(x+y+z\)，不妨将这个操作记作 \(1+2+3+4\)；\(1+2-3-4\) 可以提出 \(x-y-z\)，\(2-1+3-4\) 可以提出 \(x+y-z\)，\(2-1-3+4\) 可以提出 \(x-y+z\)。

猜测答案为 \(c(x+y+z)(x-y-z)(x+y-z)(x-y+z)\)，\(c\) 是一个常数。

将 \(x=0,y=0,z=1\) 带入，易知 \(c=1\)。答案为 \((x+y+z)(x-y-z)(x+y-z)(x-y+z)\)。

练习 2：

\[A= \begin{pmatrix} \ a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n}\ \\ \ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n}\ \\ \ \vdots & \vdots & & \vdots\ \\ \ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n}\ \\ \end{pmatrix} \]

已知 \(\displaystyle |a_{i,i}|>\sum_{j \neq i} |a_{i,j}|\)，证明 \(|A| \neq 0\)。

只需证列向量 \(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n\) 线性无关即可。

反证，若其线性相关，则方程 \(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\dots+k_n\alpha_n\) 有非零解。不妨令 \(|k_1| = \max\{|k_1|,|k_2|,\dots,|k_n|\}\)。

那么有 \(\displaystyle a_{1,1} = - \sum_{j \neq 1} \frac{k_j}{k_1} a_{1,j}\)，则 \(\displaystyle |a_{1,1}| \leq \sum_{j \neq 1} |\frac{k_j}{k_1}| |a_{1,j}| \leq \sum_{j \neq 1} |a_{1,j}|\)，矛盾。

练习 3（Lagrange 插值）：

给定 \(n\) 个两两不同的数 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\) 和另外 \(n\) 个数 \(b_1,b_2,\cdots,b_n\)，证明 \(\forall i, f(a_i)=b_i\) 的 \(n-1\) 次多项式 \(f(x)\) 唯一。

设 \(f(x) = c_1+c_2x+c_3x^2+\cdots+c_nx^{n-1}\)，将 \(x=a_1,a_2,\cdots ,a_n\) 带入，可以得到一个线性方程组。

注意到这个系数矩阵是范德蒙德矩阵，而 \(a\) 两两不同，行列式值不为 \(0\)，显然有唯一解。

练习 4：

求出所有的 \(2024\) 次首一多项式 \(f(x)\)，满足 \(f(x)\) 的每个复根 \(x_k\)，都有非常值首一多项式 \(g_k(x),h_k(x)\) 满足 \(f(x) = (x-x_k)g_k(x)h_k(x)\) 且 \(g_k(x),h_k(x)\) 的次高项系数相同。

首先观察到 \(f(x) = x^{2024}\) 满足题意。考虑证明其唯一性。

记 \(g_k(x)\) 的根为 \(p_1,p_2,\cdots,p_{n_k}\)，\(h_k(x)\) 的根为 \(q_1,q_2,\cdots,q_{m_k}\)。显然 \(x_k,p_1,p_2,\cots,p_{n_k},q_1,q_2,\cdots,q_{m_k}\) 为 \(x_1,x_2,\cdots,x_{2024}\) 的重新排列。

记 \(g_k(x)\) 的次高项系数为 \(a_k\)。\(a_k = -(p_1+p_2+\cdots+p_{n_k}) = -(q_1+q_2+\cdots+q_{m_k})\)。

由 \(a_k\) 的这个等式，左减右可以得到一个方程，也即 \(\displaystyle \sum_{j\neq k} c_{kj}x_j = 0\)，其中 \(c_{kj}=1\) 或 \(-1\)。只需要证 \(x\) 没有非零解即可。

然而 \(C\) 长什么样子我们不知道，但是我们可以注意到 \(|C| \mod 2 = 1\)，所以 \(|C| \neq 0\)，无非零解。

练习 5：

直接给出结论：对行列式求导等于对行列式里的每个函数求导之后求行列式。

练习 6（Sylvester's Identity 推论）：

推论：若 \(\det((a_{i,j})_{(n-m)^2})=0\)，则 \(\det_{1 \leq k,l \leq m}[\det[S_m(k,l)]] = 0\)。

由条件知左上角的方阵行向量线性相关，所以简单消元消掉第 \(r\) 行（\(1 \leq r \leq n-m\)），系数为 \(\lambda_i\)（显然 \(\lambda_r = 1\)）。

事实上的 \(k,l\) 独立，所以提取系数之后可以发现行列式为 \(0\)。