在矩形范围内种怪的算法问题

      今天在工作中遇到这样一个问题：给定1个矩形，左下角的点point(x, y)，长w，高h，要在这个矩形里随机出n个不同的点用来种怪。这个算法该怎么写呢？这对于我来说确实成为了一个问题。图示如下：

                      

      由于任务时间紧，做的又是Demo的原因，我不假思索的写出了下面这个算法：

//从[from, to]区间中随机一个整数
function randomInt (from, to) {
    //方法实现就不写了
}
function randomCoords (point, w, h, n) {
    //目的数组
    var coords = [];
    var map = {};
    var count = n;
    if ((w + 1) * (h + 1) < n) {
        count = (w + 1) * (h + 1);
    }
    while (count > 0) {
        var x = randomInt(point.x, point.x + w);
        var y = randomInt(point.y, point.y + h);
        //已经随机出该点，就丢掉
        if (map[x] && map[x][y])
            continue;
        if (!map[x]) map[x] = {};
        map[x][y] = true;
        coords.push({x:x, y:y});
        count --;
    }
    return coords;
}

      这个算法着实太笨了，当时也没有细想。等把任务完成了，我发现离下班的时间还有很长一段时间。因为制度上要求要加班，我只能忍了。我想，如果被别人看到我写的这么一个垃圾算法，那他肯定认为我实在太Low了。所以，我开始认真思索这个问题。

      先不考虑优化的算法该如何实现，我想先了解一下这个算法到底有多Low。我假设了一种情况，长和高都是5，然后把所有点都随机出来，需要的平均次数是多少呢？答案是：5/5 * 5/4 * 5/3 * 5/2 * 5/1 = 26.04166667。还好，不是很多次，还能承受。然后我把5改成n做成一个图表，图表如下：

      当n=10的时候，就需要循环2000多次；而当n=12的时候，就得需要循环18000多次了。图表是不是很吓人，我反正是惊呆了。这绝对不行，如果是做项目的时候要这样写，我肯定已经被老板骂死了。

      那该怎么改呢？我马上就想到了一个改进的方法。如果要随机的点数超出一半点数的话，我就随机出不用的点来，那么剩下的点就是我要的点了。这个想法其实很好，但是要结合上面的算法用的话，其实还不是很好。

      那么到底该怎么实现呢？我开始从问题本质考虑。一般情况下，随机分为两种，放回抽样随机和不放回抽样随机，它们随机所需要的次数都是n次，只不过不放回抽样需要把已经随机出来的元素从样本库里拿出来。

      很显然，这个问题是不放回抽样随机。那么又该怎么把已经随机出来的元素从样本库里拿出来呢？有一种代码里常用的方法，就是构建一个样本库的数组，然后再从数组里把那个元素拿出来。这样的确可以避免随机次数成近似指数级增长。它构建样本库数组的增长曲线是平方级，一般情况下是服务器可以接受的。但是如果要在手机等移动设备上执行的话，我们就要精益求精了。那么有没有更好的算法呢？当然有。

      我就不废话了，说一下我最终是如何实现的：

          1、求出矩形中所拥有的点数totalNum；

          2、在[0, totalNum-1]区间中随机出一个数字来，然后把该数字按一定规则对应到矩形中的某个点上，然后totalNum减1；

          3、随机n次，得到所有随机点。

      这里最关键的是第二步，要实现它需要做到如下两点：

          1、指定数字到(x,y)坐标的映射规则。我采用的是x=point.x+rand%(w+1); y=point.y+Math.floor(rand/(w+1));

          2、设置map，其key值是已经随机出的数字，其value值是最近一次随机出该数字时随机区间的末尾数字，即totalNum-1。我管这种方法叫尾数置换。其图示如下：

      废话不多说了，代码呈上：

function randomCoords (point, w, h, n) {
    var coords = [];
    var map = {};
    var totalNum = (w + 1) * (h + 1);
    var num = n;
    if (totalNum < n) {
        num = totalNum;
    }
    while (coords.length < num) {
        //在区间[0, totalNum-1]区间里随机
        var randRaw = utils.random_int(0, totalNum - 1);
        //求出有效值并计算出坐标值
        var rand = map[randRaw] == null ? randRaw : map[randRaw];
        var x = point.x + rand % (w + 1);
        var y = point.y + Math.floor(rand / (w + 1));
        coords.push({x:x, y:y});
        //更新置换尾数和区间
        totalNum --;
        if (map[totalNum] == null)
            map[randRaw] = totalNum;
        else
            map[randRaw] = map[totalNum];
    }
    return coords;
}

      这个算法的时间复杂度是O(n)级的，远小于前面两种算法。而且它还可以优化，思路前面已经给出来了，就是当要随机的点数超出总点数一半的时候，就随机出不需要的点数，然后剩下的点就是所要求的点了。思路很简单，代码我就不在这里写了。