什么是凸函数及如何判断一个函数是否是凸函数

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一、什么是凸函数

　对于一元函数\(f(x\))，如果对于任意\(t\epsilon[0,1]\)均满足：\(f(tx_1 + (1-t)x_2) \leq tf(x_1) + (1-t)f(x_2)\)，则称\(f(x)\)为凸函数(convex function)

　如果对于任意\(t\epsilon(0,1)\)均满足：\(f(tx_1 + (1-t)x_2) < tf(x_1) + (1-t)f(x_2)\)，则称\(f(x)\)为严格凸函数(convex function)

　我们可以从几何上直观地理解凸函数的特点，凸函数的割线在函数曲线的上方，如图1所示：从$f(x_1)$连一条线到右侧的虚线，利用三角形边的比例性质可以推出中间虚线与上面直线交点的值

　上面的公式，完全可以推广到多元函数。在数据科学的模型求解中，如果优化的目标函数是凸函数，则局部极小值就是全局最小值。这也意味着我们求得的模型是全局最优的，不会陷入到局部最优值。例如支持向量机的目标函数\(||w||^2/2\)就是一个凸函数。（过\(f(x_1)\)做平行线，根据相似三角形性质可以证明）

 

二、如何来判断一个函数是否是凸函数呢？

　对于一元函数\(f(x)\)，我们可以通过其二阶导数\(f''(x)\) 的符号来判断。如果函数的二阶导数总是非负，即\(f''(x) \geq 0\) ，则\(f(x)\)是凸函数

　对于多元函数\(f(X)\)，我们可以通过其Hessian矩阵（Hessian矩阵是由多元函数的二阶导数组成的方阵）的正定性来判断。如果Hessian矩阵是半正定矩阵，则是\(f(X)\)凸函数

 

三、Jensen不等式

　对于凸函数，我们可以推广出一个重要的不等式，即Jensen不等式。如果 f 是凸函数，X是随机变量，那么\(f(E(X)) \leq  E(f(X))\)，上式就是Jensen不等式的一般形式

　我们还可以看它的另一种描述。假设有 n 个样本\(\{x_1,x_2,...,x_n\}\)和对应的权重\(\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n\}\)，权重满足\(a_i \geqslant 0,\sum\alpha_i = 1\)，对于凸函数 f，以下不等式成立：

\(f(\sum_{i=1}^{n}\alpha_ix_i) \leq \sum_{i=1}^{n}\alpha_if(x_i)\)