18-行列式及其性质

一、行列式的三个性质

　1）单位矩阵的行列式：det I = 1

　2）交换矩阵的行（交换一次），新矩阵行列式与原矩阵行列式符号相反

　3）乘法和加法

　　a.矩阵的一行乘以$t$，行列式也乘以$t$

$\left|\begin{array}{cccc}{ta} & {tb} \\ {c} & {d}\end{array}\right|=t*\left|\begin{array}{cccc}{a} & {b} \\ {c} & {d}\end{array}\right|$

 

　　b.在矩阵的行上，行列式类似线性函数

$\left|\begin{array}{cccc}{a+a'} & {b+b'} \\ {c} & {d}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a} & {b} \\ {c} & {d}\end{array}\right| + \left|\begin{array}{cccc}{a'} & {b'} \\ {c} & {d}\end{array}\right|$

　　由性质1知：$\left|\begin{array}{ll}{1} & {0} \\ {0} & {1}\end{array}\right|=1$

由性质2知：$\left|\begin{array}{ll}{0} & {1} \\ {1} & {0}\end{array}\right|=-1$

置换矩阵$P$的行列式为$1$或者$-1$，取决于$P$交换了奇数次还是偶数次

通过上面的三个性质，可以推导出更多的性质

 

　4）如果矩阵中有两行相等，行列式为零。

　　通过性质2，行交换规则。交换两个相同的行，行列式正负反转，但是矩阵不变，行列式也不变，则行列式为零

 

　5）如果$i 不等于 $j$，矩阵的第$j$行减去$t$倍的行$i$不会改变矩阵的行列式

　　在二维情况下，举例如下

$\left|\begin{array}{cccc}{a} & {b} \\ {c-ta} & {d-tb}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a} & {b} \\ {c} & {d}\end{array}\right| - \left|\begin{array}{cccc}{a} & {b} \\ {ta} & {tb}\end{array}\right| = \left|\begin{array}{cccc}{a} & {b} \\ {c} & {d}\end{array}\right| - t*\left|\begin{array}{cccc}{a} & {b} \\ {a} & {b}\end{array}\right| = \left|\begin{array}{cccc}{a} & {b} \\ {c} & {d}\end{array}\right|$

　　在高维情况下，也同样适用

 

　6）如果矩阵$A$有一行为$0$，则该矩阵行列式为$0$

　　我们看性质3）的a，假设$t=5$，而$a=0, b=0$，则一个矩阵含$0$行，其行列式与其5倍行列式相等，所以其行列式必为$0$

 

　7）三角矩阵的行列式是对角线上元素（主元）：$d_1, d_2, ... , d_n$的乘积

　　由性质5可知，当使用消元法将三角矩阵转化为对角矩阵，行列式不会改变；由性质3的a）可知，对角矩阵行列式等于对角元素与单位矩阵的行列式相乘，再结合性质1可以得到性质7

 

　8）当$A$是奇异矩阵时，$det A=0$

　　奇异矩阵：就是该矩阵的秩不是满秩。

　　如果$A$是奇异矩阵，通过消元法能够得到一行为零，通过性质6能得到行列式为$0$

　　如果$A$不是奇异矩阵，通过消元得到完整的所有主元，行列式不为$0$

　　上述性质对于求非奇异矩阵的行列式非常有用。事实上，计算机在求取大矩阵时，也是通过消元法求取的（消元过程中记录行交换的次数），消元完成后将所有主元相乘

 

　9）$det AB =(det A)(det B)$

　　这个性质非常有用，但是需要谨记的是两个矩阵之和的行列式并不等于两个矩阵行列式的和

　　$(detA)^2 =(detA^2), det\space2A=2^ndetA$

 

　10）$detA^T =detA$

　　$\left|\begin{array}{cccc}{a} & {b} \\ {c} & {d}\end{array}\right| = \left|\begin{array}{cccc}{a} & {c} \\ {b} & {d}\end{array}\right| = ad - bc$

　　证明：使用消元法后，$A=LU$，因此我们只需要证明$|U^TL^T|=|LU|$，由性质9及$L$是下三角矩阵，并且对角线是1，所以$|L^T|=|L|=1$，所以我们只需要证明$|U^T|=|U|$，我们知道$U$为上三角矩阵，由性质5（消元）可知$|U^T|=|U|$，得以证明