01-方程组的几何解释

本博客是学习MIT-线性代数笔记，Gilbert Strang大神讲的通俗易懂，感兴趣的可以观看视频

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一、$Ax=b$的意义

　A：代表了方程组的系数矩阵

　x：代表未知数组成的向量

　b：代表矩阵和向量的乘积

　如求解方程组$2x - y = 0$和$-x + 2y = 3$的解，即A和x和b分别代表什么？请读者思考

$\left|\begin{array}{cc}{2} & {-1} \\ {-1} & {2}\end{array}\right|*\left|\begin{array}{l}{x} \\ {y}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{l}{0} \\ {3}\end{array}\right|$

　以上就是线性方程组的几何表示

 

二、行图像

　按行将方程组定位在坐标系内，如上例子，两条直线的交点（1，2）就是方程组的解，这里相当于两个方程求解，在直角坐标系比较好做出图来，对于多个方程及多个未知数，道理类似，不好做图

 

三、列图像

　即将矩阵各列摘出来，上述方程组如下所示：

$x\left[\begin{array}{c}{2} \\ {-1}\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{c}{-1} \\ {2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{0} \\ {3}\end{array}\right]$

　如何解释呢？就是列向量的线性组合（如何组合才能得到右侧的b向量），用图像表示如下：

 

　现在思考一个问题，是否对于任意的b，方程都有解呢？（当然不是，要存在解，b必须时列向量的线性组合）

 

四、思考题

　本讲结束，请读者思考如何将下面的矩阵和向量相乘（分别采用行和列两种方式）

$\left[\begin{array}{ll}{2} & {5} \\ {1} & {3}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{1} \\ {2}\end{array}\right]$