机器学习中的数学

二、第二课时

　1）极限：

　　通俗语言：函数f在\(x_0\)处的极限是L

　　数学符号：\(\lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = L\)

　　无穷如何比较大小呢？如x趋近0的时候，\(sin(x)\)和\(tan(x)\)同样都趋近0，哪个趋近0的速度更快呢？我们可以采用求商的极限来求解：\(\lim_{x\rightarrow 0} sin(x)/tan(x) = \lim_{x\rightarrow } cos(x) = 1\)，所以是同样级别的无穷小

　　夹逼定理：如果三个函数满足：\(f(x) <= g(x) <= h(x)\)，并且他们在\(x_0\)处均有极限，则：\(\lim_{x\rightarrow x_0} f(x) <= \lim_{x\rightarrow x_0} g(x) <= \lim_{x\rightarrow x_0} h(x)\)

　　几个重要的极限：

　　　\(\lim_{x\rightarrow 0} sin(x)/x = 1\)

　　　\(\lim_{x\rightarrow \infty } x^a/e^x = 0\)，对于任意的正数\(a\)

　　　\(\lim_{x\rightarrow \infty } ln(x)/x^a = 0\)，对于任意的正数\(a\)

　　　\(\lim_{x\rightarrow \infty } (1 + 1/x)^x = e\)

 

　　2）导数

　　如果一个函数\(f(x)\)在\(x_0\)附近有定义，并且存在极限：\(L = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x) -f(x_0)}{x - x_0}\)，那么\(f(x)\)在\(x_0\)处可导且导数\(f'(x_0) = L\)

　　3）链式法则：即符合函数的求导法则

　　如：\(y = x^x\)，求其导数。两边取对数：\(lny = xlnx\)，然后两边同时求导：\((1/y)y'=lnx + 1\)，\(y' = (lnx + 1)x^x\)

 

三、第三课时

　1）单变量函数的黎曼积分：

　　\(f(x)\)为开区间(a, b)上的一个连续函数，对于任意一个正整数n，我们定义：\(x_i = a + i(b - a)/n\)，求和式：\( S_n(f) = \sum_{i=1}^{n}f(x_i)(x_{i+1} - x_i) \)

　　如果极限\(\lim_{n->\infty }S_n(f)\)存在，那么函数\(f(x)\)在这个区间上的黎曼积分为：\( \int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{n->\infty }S_n(f) \)

　　我们可以这样理解：把区间分成n份，求函数与x轴的面积和