GJK碰撞检测算法

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现实世界里我们对于是否碰撞的判断可以说极其容易而且准确，比如下图。在二进制的世界里，一切就没这么直观了。

GJK(Gilbert-Johnson-Keerthi Distance Algorithm)

GJK 就是此次要实现的碰撞检测算法。如果对碰撞算法有过了解的话，大概率听过另一个碰撞检测算法 SAT(Separating Axis Theorem)。

GJK 相较于 SAT 有什么优点吗？

• 快
• 简单

实际上就我目前了解的碰撞检测算法，应用对象都是凸多边形(Convex polygon)。如果不是凸多边形，问题也不大，可以事先分割。

游戏里对于不规则物体，我们通常都是借助工具生成顶点数据。此时生成的数据通常都是处理过的(凹多边形被分解)，如果你想了解更多关于凹多边形分解的知识，可以参考这两个库：poly-decomp.js，earcut。

Minkowski Difference

由于不知道 Min 到底是“明”还是“闵”，所以下面都用 MD 表示了。

MD 是 GJK 算法的理论基础。那么到底什么是 MD ？

假设有两个凸多边形：

s1 =[{x:1, y:10},{x:3, y:10},{x:3, y:8},{x:1, y:8}]
s2 =[{x:2, y:9},{x:4, y:7},{x:2, y:7}]

那么它们的位置看起应该像下图这样。

MD 就是 s1 与 s2 所有点的差形成的集合。

MD(s1, s2):
  s3 =[]for p1 in s1:for p2 in s2:
      s3.push(p1 - p2)return s3

MD(s1, s2)=>[{x:-1, y:1},{x:-3, y:3},{x:-1, y:3},{x:1, y:1},{x:-1, y:3},{x:1, y:3},{x:1, y:-1},{x:-1, y:1},{x:1, y:1},{x:-1, y:-1},{x:-3, y:1},{x:-1, y:1}]

这些点的布局如下图所示：

关键的地方来了。首先要介绍一个新的概念叫 Convex Hull。

Convex hull 是包含点集的最小凸多边形。拿上面的例子来说：

铺垫了这么久，现在可以说结论了。

我们把 s1 - s2 点集形成的 Convex hull 命名为 s3。如果 s3 包含点 (0, 0)，那么 s1 和 s2 发生碰撞。

有没有觉得很简单？对，原理就是这么简单。

至于怎么算出点集的 Convex hull，翻译自维基百科的 Gift wrapping algorithm 。

functionwrap(points){const hull =[]let current ={x:Infinity}for(const p of points){if(p.x < current.x) current = p
  }let i =0, end

  while(true){
    hull[i]= current
    end = points[0]for(let j =1; j < points.length; j++){if((end.x === current.x && end.y === current.y)||inline(points[j], hull[i], end)>0){
        end = points[j]}}
    i +=1
    current = end

    if(end.x === hull[0].x && end.y === hull[0].y)break}return hull
}

Gift wrapping algorithm 是获取 Convex hull 的一种算法，不是效率最高的但应该是最易懂的。

最后就是判断点是否在多边形内的算法了，可以看我之前的文章。

交互示例

思考

有小伙伴不禁要问：这样的嵌套循环真的比 SAT 快？确实，上面的实现并不是真正意义上的 GJK 算法。但是核心思想是一样的：

如果两个凸多边形的 Minkowski Difference 所形成的 Convex hull 包含点 (0, 0)，那么这两个凸多边形相交。

怎么优化这个实现呢？

我们并不需要计算两个凸多边形所有点的 Minkowski Difference。还是文章开始的例子：

我们只需要尽早的从已知的条件里判断出是否包含原点即可。

比如：如果获取到的第一个点刚好是原点，说明相交停止循环，否则继续获取下一个点，如果原点在两点的连线上，说明相交停止循环，否则继续获取下一个点。

真正的 GJK 算法用了一个很取巧的方式来减少循环次数，而且效果很理想。当然这也是下篇文章里的内容了。

感兴趣的小伙伴也可以从下面的参考资料里先尝试一波。

参考资料

• https://blog.hamaluik.ca/posts/building-a-collision-engine-part-1-2d-gjk-collision-detection/
• http://www.dyn4j.org/2010/04/gjk-gilbert-johnson-keerthi/
• https://cse442-17f.github.io/Gilbert-Johnson-Keerthi-Distance-Algorithm/

 

 

国际惯例先放图。

GJK 是怎么快速判断出这两个图形是否碰撞的呢？

Support Function

Support Function 用来计算凸体在给定方向上的最远点。什么意思呢？

代码片段

图示中的例子带入，可以得到 (9, 6) = (0, 4) - (-9, -2)，正是图二三角形的一个顶点。

将方向取反再调用 getSupport，我们可以得到 (-1, -2) = (-6, 0) - (-5, 2)，也是图二三角形的一个顶点。

这样做的意义是什么呢？因为可以确保我们所取的两个点跨度足够大，有更大的概率包含原点，减少循环次数。

那么问题来了：

• 初始给定的方向是怎么来的？

  随机。更推荐的是凸体中心的差：direction = shapeA.center - shapeB.center。

• 已经获取了两个点，那么第三个点如何确定呢？

  通过 a(9, 6)，b(-1, -2)，可以计算出垂直于向量 ab(-10, -8) 且指向原点方向的向量，这个向量将会作为 direction 来获取第三个点。

  

  这里要用到向量积来计算出 direction。

  代码片段

核心算法

获取到三个点后，我们需要判断原点的是否在这三个所形成的多边形内。如果在说明碰撞，不在则剔除一个点后继续寻找下一个点。

上面这种情况：w * AO > 0，说明原点在 AB 外部，则剔除点 C 并以 w 为 direction 继续寻找下一个点。

上面这种情况：w * AO < 0，说明原点在 AB 内部，则验证剩余的边（实际上不需要验证所有的边）。假如我开始获取到的两个点是 B，C，则我们只需要验证 AB，AC，因为原点一定在 BC 内部。

这里的关键点在于：如何计算出垂直于 AB 且指向远离点 C 的方向的向量 w ？

直接贴代码了，毕竟也解释不了为何是这样的运算顺序。

代码片段

交互示例

上面只是介绍了我觉得实现 GJK 算法中比较重要的点。整个流程可能并不够清晰，所以这里附上完整的步骤分解示例。

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总结

GJK 算法并不复杂，完整的代码不到 200 行。主要用到的数学知识是数量积和向量积。

参考资料

• https://blog.hamaluik.ca/posts/building-a-collision-engine-part-1-2d-gjk-collision-detection/
• http://www.dyn4j.org/2010/04/gjk-gilbert-johnson-keerthi/
• https://cse442-17f.github.io/Gilbert-Johnson-Keerthi-Distance-Algorithm/