【复变函数】1. 辐角原理

这篇关于辐角原理的小文章节选自2020年秋学期数理方法I课程的小论文，节选部分简略介绍了这个有趣的定理，主要参考资料为中科大龚昇老师的《简明复分析》。我用这个节选片段来测试一下博客园发布新随笔的功能。

 

辐角原理是复变函数论中有关留数理论的一个定理，由它可以得到关于线性控制的Nyquist稳定判据。

辐角原理内容

定理（辐角原理） 设 \(f(z)\) 是域 \(U\) 上的亚纯函数^[1]， \(\gamma \subset U\) 为一条正定向简单闭曲线，且在\(U\)中可以连续地缩成一个点，

已知 \(f(z)\) 在 \(\gamma\) 内有有限个零点，零点的个数记为 \(N(f,\gamma)\)（ \(k\) 阶零点算作 \(k\) 个零点），且 \(f(z)\) 在 \(\gamma\) 内有有限个极点，极点的个数记为 \(P(f,\gamma)\)（ \(k\) 阶极点算作 \(k\) 个极点）。

​令复变函数 \(f(z)\) 的宗量 \(z\) 沿 \(\gamma\) 正定向^[2]绕行一圈，将 \(w=f(z)\) 的辐角变化记为 \(\Delta_\gamma( Arg(w))\) ，则有：

\[N(f,\gamma)-P(f,\gamma)=\dfrac{1}{2\pi}\Delta_\gamma( Arg(w))=w 绕零点逆时针转动的圈数 \]

这个定理被称为辐角原理。

辐角原理的证明

​证明 设 \(f(z)\) 在 \(\gamma\) 内有阶数各为 \(n_k\) 的零点 \(z_k\)（ \(k=1,2,\cdot \cdot \cdot,n\) ），阶数各为 \(p_j\) 的极点 \(u_j\)（ $ j=1,2,\cdot \cdot \cdot,p$ )，以每个零点为圆心，作圆 \(\gamma_k\) （ \(k=1,2,\cdot \cdot \cdot,n\) ），使得 \(\gamma_k\) 都在 \(\gamma\) 内部，但互不相交；又以每个极点为圆心，作圆 \(C_j\) （ \(j=1,2,\cdot \cdot \cdot,p\) ），使得 \(C_j\) 都在 \(\gamma\) 内部，但互不相交。于是，由 Cauchy 积分公式得

\[\dfrac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\dfrac{f'_i(z)}{f_i(z)} = \dfrac{1}{2\pi i}\int_{\Sigma \gamma_k+\Sigma C_j}\dfrac{f'_i(z)}{f_i(z)} \]

由于 \(f(z)\) 在 \(z=z_k\) 处为 \(n_k\) 阶零点，于是在 \(\gamma_k\) 中，\(f(z)\) 可以写为

\[f(z) = (z-z_k)^{n_k}h_k(z) \]

其中， \(h_k(z)\) 不恒为零。于是

\[\dfrac{f'(z)}{f(z)}=\dfrac{n_k}{z-z_k}+\dfrac{h'_k(z)}{h_k(z)} \]

这就得到

\[\dfrac{1}{2\pi i}\int_{\gamma_k}\dfrac{f'(z)}{f(z)}dz=n_k \]

又由于 \(f(z)\) 在 \(z=u_j\) 处为 $p_j $ 阶零点，于是在 \(C_j\) 中，\(f(z)\) 可以写为

\[f(z) = (z-u_j)^{p_j}g_j(z) \]

其中， \(h_k(z)\) 不恒为零。于是

\[\dfrac{f'(z)}{f(z)}=-\dfrac{p_j}{z-u_j}+\dfrac{g'_j(z)}{g_j(z)} \]

这就得到

\[\dfrac{1}{2\pi i}\int_{C_j}\dfrac{f'(z)}{f(z)}dz=-p_j \]

故

\[\dfrac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\dfrac{f'_i(z)}{f_i(z)}=\sum^n_{k=1} n_k-\sum^p_{j=1}p_j=N-P \]

​ 记 \(w=f(z)\) ，又记 \(z=z(t)\) （\(t\in [a,b]\)）是\(\gamma\) 的与定向相符的参数表示，\(w(t)=f(z)\)，则有

\[N(f,\gamma)-P(f,\gamma)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma} \frac{f'(z)}{f(z)}dz=\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma} \frac{dw}{w(z)} \]

这里， \(\Gamma\) 为 \(\gamma\) 在\(w=f(z)\)映射下的像， \(\displaystyle\int_\Gamma \frac {dw}{w}=\int_{t_1}^{t_2} \frac{dw(t)}{w(t)}\)

​ 设 \(w=Ae^{i\phi}\) ，代入上式，得

\[\begin{aligned} N(f,\gamma)-P(f,\gamma)&=\dfrac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma} \dfrac{dw}{w(z)}\\ &=\dfrac{1}{2\pi i}[ln\dfrac{A_2}{A_1}+i(\phi_2-\phi_1)]\\ &=\dfrac{1}{2\pi}(\phi_2-\phi_1)\\ &=\frac{1}{2\pi}\Delta_\gamma (Arg (w)) \end{aligned} \]

其中 \(\Delta_\gamma( Arg(w))\) 表示当 \(z\) 沿着 \(\gamma\) 上正向绕行一圈时， \(w\) 在 \(\Gamma\) 上的辐角变化。这说明当 \(z\) 沿着 \(\gamma\) 的正方向转动一圈时，\(w = f(z)\) 在 \(\Gamma\) 上沿正方向绕原点转动的总圈数，恰好等于 \(f\) 在 \(\gamma\) 内的零点个数 \(N\) 与极点个数 \(P\) 之差。证毕。

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1. 亚纯函数，即一个在域 \(U\subseteq C\) 上有定义，并在除一个或若干个孤立点集合之外的区域处处解析的函数，这些孤立点称为极点。 ↩︎

2. 正定向指前进时点集在左侧的前进方向，此处正定向实为逆时针方向。 ↩︎