【GDKOI2017】 两个胖子萌萌哒 小学奥数题

题目大意：给你一个$n\times m$的网格，你要在这个网格上画三角形。

三角形的顶点只能在网格的整点上，且至少有一条边平行于$x$或$y$轴，且三角形面积为整数。问你能画多少个不同的三角形。

两个三角形被判定为不同，当且仅当两个三角形所包含的点集不相同。

多组询问，$n,m≤10^9$。

 

这题是裸的小学奥数题。。。。

我们先不管那个面积限制，先来看下有多少个三角形满足前两个条件。

我们令三角形的一边平行于$x$轴，我们考虑枚举底边，显然底边有$\dfrac {m(m+1)(n+1)} {2}$种不同的取法（不同的位置，长度）

然后，我们枚举三角形的顶点，显然不能跟底边位于同一个$x$轴上，那么有$n(m+1)$种取法。

平行与$y$轴的情况同理。

但是这么算会将直角三角形的数量算重，我们考虑减去这些三角形

我们考虑枚举三角形的直角顶点位置以及两边边长，这个相当于是在两条长度分别为$n$和$m$的线段上截取两段出来，方案数显然为$\dfrac{m(m+1)n(n+1)}{4}$种。

然后，考虑到枚举出的一组线段，共有$4$种构造的方法，故方案数要$\times 4$。

我们成功求出了三角形的数量。

 

考虑这些三角形中不合法的数量，不合法的三角形，显然底边和高的长度均为奇数。

我们考虑将网格格点进行黑白染色，记 $n1=\lceil \dfrac{n}{2} \rceil$，$n2=\lfloor \dfrac{n}{2} \rfloor$。$m1,m2$同理。

那么显然，一个不合法的，且底边与$x$轴平行的三角形，底边两点的横坐标必然一个为奇，一个为偶数的，方案数为$n1\times n2$。

下面考虑枚举底边和顶点的纵坐标，显然底边和顶点所在的纵坐标必须一个为奇，一个为偶，方案数为$2m1\times m2$，顶点横坐标显然有n中选法。

故与$x$轴平行的不合法三角形总共有$2n1\times n2\times m1\times m2\times n$个。

底边与$y$轴平行的三角形同理。

 

考虑不合法的直角三角形，数量为$4n1\times n2\times m1\times m2$。（枚举两条边边长，直角朝向）。

然后就没有了