【xsy1143】 兔子的数字 搜索

题目大意：请找到第$k$大的数，满足各位数字之和等于各位数字之积。其中$k≤10^{18}$。

 

首先我们要确定这个第$k$大的数有多大

 

我们用$f[i][j][he][ji]$表示我们要搜索一个$i$位的数字，还有$j$位没有确定，且确定的位总和为$i$，积为$j$的方案数。

我们发现：若$he+j<ji$，则$f[i][j][he][ji]=0$(假设后面大量地补$1$，即只增加各位数字之和而不增加各位数字之积，如果积过大，那么显然这种方法并不奏效）

若$he+j=ji$，则$f[i][j][he][ji]=\binom{i}{j}$(这种情况下，余下的j位均为$1$恰好可以让和等于积，组合数的意义为将$j$个$1$插入到已经确定的i-j位数中）

若$j=0$，那么显然只需要判一下和是否等于积即可。

若在这三种情况外，直接枚举下一位数字（$2$到$9$枚举）。

 

我们设第$k$大的数字位数为$x$，每次计算$f[x][x][0][1]$，若$f[x][x][0][1]<n$，则$n-=f[x][x][0][1]$，并且$x++$，否则这个$x$即为第$k$大数的位数。

接着从大到小枚举每一位，随后计算当该数前若干位确定时的方案数，借此逐位确定整个数

时间复杂度为$O(??)$

 

#include<bits/stdc++.h>
#define L long long
#define M 505
using namespace std;
L n,c[M][M]={0};

L calc(int n,int m,int he,int ji){
    if(he+m<ji) return 0;
    if(!m) return he==ji;
    if(he+m==ji&&ji!=1) 
    return c[n][m];
    L cnt=0;
    for(int i=2;i<10;i++) 
    cnt+=calc(n,m-1,he+i,ji*i);
    return cnt;
}

int main(){
    cin>>n;
    for(int i=0;i<M;i++){
        c[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=i;j++)
        c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1];
    }
    if(n<10){printf("%d\n",n); return 0;}
    n--;
    int hh=1;
    while(1){
        L now=calc(hh,hh,0,1);
        if(now<n) n-=now,hh++;
        else break;    
    }
    int he=0,ji=1;
    for(int i=hh;i;i--){
        for(int j=1;j<10;j++){
            L now=calc(i-1,i-1,he+j,ji*j);
            if(now<n)n-=now;
            else{
                printf("%d",j);
                he+=j; ji*=j;
                break;
            }
        }
    }
}