【xsy1201】 随机游走 高斯消元

题目大意：你有一个$n*m$的网格（有边界），你从$(1,1)$开始随机游走，求走到$(n,m)$的期望步数。

数据范围：$n≤10$，$m≤1000$。

 

我们令 $f[i][j]$表示从$(1,1)$随机游走到$(i,j)$的期望步数。不难推出：

如果$(i,j)$与边界不想邻，则有 $f[i][j]=\frac{1}{4}(f[i-1][j]+f[i+1][j]+f[i][j-1]+f[i][j+1])+1$

如果$(i,j)$与边界相邻，但不在四个角，则把式子中的$\frac{1}{4}$改为$\frac{1}{3}$，并且将括号中的四个项删掉一个。

如果$(i,j)$在非起点的三个角上，则式子也显然。

 

显然这是一个$nm$元一次方程，我们可以考虑用高斯消元在$O(n^3m^3)$的时间内完成求解，这样子可以拿到$50$分的好成绩。

 

我们令$x_{(i-1)m+j}$来表示$f[i][j]$。

那么式子就变成了$x_i=\frac{1}{4}(x_{i-1}+x_{i+1}+x_{i+m}+x_{i-m})+1$

然后我们会发现，第$i$条式子只有$[i-m,i+m]$是有值的。

根据高斯消元的特征，第i条式子中包含$x_{[i-m,i)}$的项值会被消掉，那么实际上存在项的部分为$x_{[m,i+m]}$。

我们又发现，式子中包含$x_i$的，只可能第$i-m$条式子至第$i+m$条式子。

那么，我们在高斯消元时，并不需要把对所有式子进行处理，只需要处理第$i$条式子的后$m$条式子的第$i$项至第$i+m$项即可。

时间复杂度降低至$O(nm^3)$，你可以得到$80$分的好成绩。

考虑到$m$很大，依然无法求解，考虑到$n$很小，我们将$n$和$m$进行$swap$，然后再去求解即可。

时间复杂度降低至$O(n^3m)$。可以得到$100$分的好成绩。

 

#include<bits/stdc++.h>
#define M 10005
#define ok(x,y) (1<=(x)&&(x)<=n&&1<=(y)&&(y)<=m)
#define ok2(x,y) (ok(x,y)&&(!(x==1&&y==1)))
#define D double
using namespace std;

D *a[M];int n,m;

D get(int i,int j){
    D hh=0;
    if(ok(i-1,j)) hh++;
    if(ok(i+1,j)) hh++;
    if(ok(i,j+1)) hh++;
    if(ok(i,j-1)) hh++;
    return 1/hh;
}

void newhh(int x){
    int i=(x-1)/m+1,j=(x-1)%m+1;
    a[x]=new D[n*m+2];
    memset(a[x],0,sizeof(D)*(n*m+2));
    D hh=get(i,j);
    if(ok2(i-1,j)) a[x][x-m]=-hh;
    if(ok2(i+1,j)) a[x][x+m]=-hh;
    if(ok2(i,j+1)) a[x][x+1]=-hh;
    if(ok2(i,j-1)) a[x][x-1]=-hh;
    a[x][x]=1; a[x][n*m+1]=1;
}

int Main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    if(n==1&&m==1) {printf("0\n"); return 0;}
    if(m>n) swap(n,m);
    for(int i=2;i<=m+2;i++) newhh(i);
    for(int i=2;i<n*m;i++){
        for(int j=i+1;j<=min(i+m,n*m);j++){
            D hh=a[j][i]/a[i][i];
            for(int k=i;k<=min(i+m,n*m);k++)
            a[j][k]-=hh*a[i][k];
            a[j][n*m+1]-=hh*a[i][n*m+1];
        }
        delete[] a[i];
        if(i+m+1<=n*m) newhh(i+m+1);
    }
    D ans=a[n*m][n*m+1]/a[n*m][n*m];
    delete[] a[n*m];
    printf("%.0lf\n",ans);
}

int main(){
    int cas; cin>>cas;
    while(cas--) Main();
}