【BZOJ3992】【SDOI2015】序列统计 EGF+多项式快速幂+循环卷积

如果是求 $n$ 个数之和在模 $m$ 意义下为 $x$ ，那么做法是显然的。

但是这道题问的是 $n$ 个数之积在模m意义下为 $x$ ，那么做法就和上面的问题不同。

考虑如何把乘法转换成加法（求log）：

题目中有一个很特殊的条件： $m$ 是个质数。

不妨假设 $m$ 的原根为 $g$ 。那么显然，我们可以用 $g^x%m$ 构造出 $[0,m)$ 中的所有数。

那么对于两个数 $A$ 和 $B$ ，我们将它变形为 $g^{x_1}$ 和 $g^{x_2}$ ，那么 $A \times B=g^{x_1+x_2}$ 。

我们构造一个m-1次多项式A，对于A的第i项，A_i= $\begin{equation} \left\{ \begin{array}{lr} 1 \ [x^i \equiv k(mod\ m),\ k∈S].\\0 \end{array} \right. \end{equation}$ 。

然后，不妨设读入的 $X=g^k$ ，则答案即为 $[x^k]A^n(x)$ ，注意这里的卷积是循环卷积。

然后就没了，注意S中出现0的情况。

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define M 32768
 3 #define MOD 1004535809
 4 #define G 3
 5 #define L long long
 6 using namespace std; 
 7 
 8 L pow_mod(L x,L k){
 9     L ans=1;
10     while(k){
11         if(k&1) ans=ans*x%MOD;
12         x=x*x%MOD; k>>=1;
13     }
14     return ans;
15 }
16 
17 void change(L a[],int n){
18     for(int i=0,j=0;i<n-1;i++){
19         if(i<j) swap(a[i],a[j]);
20         int k=n>>1;
21         while(j>=k) j-=k,k>>=1;
22         j+=k;
23     }
24 }
25 void NTT(L a[],int n,int on){
26     change(a,n);
27     for(int h=2;h<=n;h<<=1){
28         L wn=pow_mod(G,(MOD-1)/h);
29         for(int j=0;j<n;j+=h){
30             L w=1;
31             for(int k=j;k<j+(h>>1);k++){
32                 L u=a[k],t=a[k+(h>>1)]*w%MOD;
33                 a[k]=(u+t)%MOD;
34                 a[k+(h>>1)]=(u-t+MOD)%MOD;
35                 w=w*wn%MOD;
36             }
37         }
38     }
39     if(on==-1){
40         L inv=pow_mod(n,MOD-2);
41         for(int i=0;i<n;i++) a[i]=a[i]*inv%MOD;
42         reverse(a+1,a+n);
43     }
44 }
45 L a[M]={0},b[M]={0},ans[M]={0};
46 int gn[M]={0},g=0,vis[M]={0};
47 
48 void get(int n){
49     for(int i=2;i<n;i++){
50         memset(vis,0,n<<2);
51         vis[0]=1; gn[1]=0;
52         int hh=1,ok=1;
53         for(int j=1;j<n-1;j++){
54             hh=hh*i%n;
55             if(vis[hh]){ok=0; break;}
56             vis[hh]=1; gn[hh]=j;
57         }
58         if(ok){g=i; return;}
59     }
60 }
61 
62 int main(){
63     int n,m,x,s,nn=1;
64     scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&x,&s);
65     while(nn<(m*2)) nn<<=1;
66     get(m);
67     for(int i=0;i<s;i++){
68         int x; scanf("%d",&x);
69         if(x==0) continue;
70         x=gn[x];
71         a[x]++;
72     }
73     ans[0]=1; m--;
74     while(n){
75         if(n&1){
76             NTT(a,nn,1); NTT(ans,nn,1);
77             for(int i=0;i<nn;i++) ans[i]=ans[i]*a[i]%MOD;
78             NTT(a,nn,-1); NTT(ans,nn,-1);
79             for(int i=0;i<m;i++) ans[i]=(ans[i]+ans[i+m])%MOD;
80             for(int i=m;i<nn;i++) ans[i]=0;
81         }
82         NTT(a,nn,1);
83         for(int i=0;i<nn;i++) a[i]=a[i]*a[i]%MOD;
84         NTT(a,nn,-1);
85         for(int i=0;i<m;i++) a[i]=(a[i]+a[m+i])%MOD;
86         for(int i=m;i<nn;i++) a[i]=0;
87         n>>=1;
88     }
89     printf("%lld\n",ans[gn[x]]);
90 }