【bzoj3028】 食物 生成函数+隔板法
题目传送门:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3028
这题的推导很妙啊,裸的推母函数的题。
我们首先构造出每种食物的母函数:
汉堡:1+x2+x4+……=11−x2
可乐:1+x=1−x21−x
鸡腿:1+x+x2=1−x31−x
蜜桃:x+x3+x5+......=x1−x2
鸡块:1+x4+x8+......=11−x4
包子:1+x+x2+x3=1−x41−x
炒肉:1+x=1−x21−x
面包:1+x3+x6+......=11−x3
然后,我们将这八个母函数乘起来,得到x(1−x)4,所求答案为x(1−x)4的n次项系数。
考虑如何求这个东西,不难发现,x(1−x)4=x×(11−x)4,然后又因为11−x=∑i=0∞xi,可以想象成有一个物品集合A,其中每种权值恰好有1个,那么x(1−x)4的n次项系数相当于从4个A集合中各取出1个,并且这4个物品的权值和为n的方案数,这个东西通过插板法简单推导下可以推出其答案为(n+23)。
由于n很大,读入的时候先取个模再求答案即可。
代码很短,推导稍长....
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define MOD 10007 3 #define INV6 1668 4 using namespace std; 5 char c[12345]={0}; 6 7 int main(){ 8 scanf("%s",c); 9 int len=strlen(c),n=0; 10 for(int i=0;i<len;i++) n=(n*10+c[i]-'0')%MOD; 11 printf("%d\n",n*(n+1)%MOD*(n+2)%MOD*INV6%MOD); 12 }
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