【2018北京集训十二】 coin 矩阵快速幂

矩阵快速幂原来还可以这么用？？

你们城里人还真会玩。

我们令$f[i][j][k]$表示总的钱数为i，当前使用的最大面值硬币的面值为$v_j$，最小为$v_k$的方案数量。

不难发现$f[i][j][k]=\sum f[a][j][l]\times f[b][l][k]$其中$l∈[k,j]，a+b=i$。

很显然，这个转移过程不就是矩阵乘法的过程吗？？

考虑到$\forall v_i>v_j$，有$gcd(v_i,v_j)=v_j$，则$f[v_i]$可以由$f[v_j]$通过矩阵乘法转移得到。

最后再简乘一下就得到答案了。

#include<bits/stdc++.h>
#define M 51
#define L long long
#define MOD 998244353
using namespace std;
int n; L m,v[M]={0}; 
struct matrix{
    L a[M][M];
    matrix(){memset(a,0,sizeof(a));}
    friend matrix operator *(matrix a,matrix b){
        matrix c;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
        for(int k=1;k<=n;k++)
        c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j])%MOD;
        return c;
    }
    friend matrix operator ^(matrix a,L b){
        matrix ans=a; b--;
        while(b){
            if(b&1) ans=ans*a;
            a=a*a; b>>=1;
        }
        return ans;
    }
    void danwei(){
        for(int i=1;i<=n;i++) a[i][i]=1;
    }
}ans,a[M]; 
int main(){
    scanf("%d%lld",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",v+i);
    sort(v+1,v+n+1);
    a[1].a[1][1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        L t=v[i]/v[i-1];
        a[i]=a[i-1]^t;
        for(int j=1;j<=i;j++) a[i].a[i][j]++;
    }
    ans.danwei();
    for(int i=n;i;i--)
    if(m/v[i]){
        L t=m/v[i];
        ans=ans*(a[i]^t);
        m=m%v[i];
    }
    L hhh=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) hhh=(hhh+ans.a[i][1])%MOD;
    printf("%lld\n",hhh);
}