【learning】 单调队列与单调栈用法详解

1、单调栈

单调栈是指一个栈内部的元素具有严格单调性的一种数据结构，分为单调递增栈和单调递减栈。

 

其具有以下两个性质：

1，满足栈底到栈顶的元素具有严格单调性。

2，满足栈的先进后出特性，越靠近栈顶的元素越后出栈。

 

 

元素进栈过程：

对于一个单调递增栈来说，若当前进栈的元素为a，如果a<栈顶元素，则直接将a进栈。

如果a≥栈顶元素，则不断将栈顶元素出栈，直到满足a<栈顶元素。

 

模拟一个数列构造一个单调递增栈

进栈元素分别为3，4，2，6，4，5，2，3。

图片所示过程即为进栈过程。

 

实现单调栈STL栈和手写栈均可。

 

2，单调队列。

单调队列与单调栈及其相似，把单调栈先进后出的性质改为先进先出既可。 

元素进队列的过程对于单调递增队列。

对于一个元素a，如果a>队尾元素，那么直接将a扔进队列，如果a≥队尾元素，则将队尾元素出队列，直到满足 a>队尾元素即可。

 

实现用STL的双端队列即可（我好像一直都是手写的）

由于双端队列即可以在队头操作，也可以在队尾操作，那么这样的性质就弥补了单调栈只能在一边操作的不足。可以使得其左边也有一定的限制。

 

3，时间复杂度分析

对于每个元素，其有且仅有一次插入，最多出现一次删除，故其时间复杂度为O（n）。

 

练习：

给你n个数，让你在这n个数中选出连续的m个数（m≤n），使这m个数的极差最小，若存在多个区间使得极差均最小，输出最靠前的区间。

很显然，$n≤10^4$时暴力明显可做，$n≤10^6$时通过线段树也可做，那如果n去到$10^7$呢？

 

我们考虑用单调队列维护区间$[i,i+m-1]$的最小值和最大值，以下篇幅以维护最大值举例。

首先，我们把前m个数扔进一个单调递增队列中，在扔进去的同时把这些数所对应的下边也扔进去。显然队头的数字即为区间[1,m]最大的数。

考虑基于[1,m]的数据去更新[2,m+1]的最大值。若第一个数依然存在于队列中（很显然若存在仅可能位于队尾），将这个数删除，然后将第m+1个数插入改单调队列。显然队尾数字即为区间[2,m+1]的最大值。

重复该过程n-m+1次即可，显然时间复杂度为O（n）。

练习：bzoj1047