【NOIP2014提高组】解方程

题目传送门：https://www.luogu.org/problem/show?pid=2312 （习惯性放洛谷的链接）

这一题看起来数据范围巨大无比，需要使用各种玄学方法，看了题解后整个人懵逼了....

对于30%的数据，$0<n≤2$，$|a_{i}|≤100$，$a_{n}!=0$，$m<100$。

该数据范围直接高精度，在$[1，m]$的范围内暴力枚举即可。时间复杂度为$O(n*m*len^{2})$，其中$len$表示高精度计算过程中数字的位数。

对于50%的数据:$0<n<=100$,$|ai|<=10^{100}$,$a_{n} \neq 0$,$m<100$。

我们考虑用秦九昭算法对计算进行加速，秦九昭算法思路如图：

 

该算法目的为在求一元$n$次多项式的值时，将求值需要经过$n^{2}$次乘法和$n$次加法降低至$n$次乘法和$n$次加法。

通过此方法化简，时间复杂度被降低一个$len$。即可拿到50分。

对于100%的数据:$0<n \leqslant 100$，$|ai| \leqslant 10^{10000}$，$a_{n}\neq 0$,$m<1000000$。

我们考虑将高精度的过程去掉。

考虑到同余的某些性质，我们可以对方程的两边对$p$取模（$p$为质数），若x满足$(\sum _{0}^n a_{i}x^i) =0$，则其必然满足$\sum _{0}^n a_{i}x^i$ ≡ 0 (mod p)。

根据同余性质，可将其进一步化简为$\sum _{0}^n (a_{i}x^i \mod p ) \equiv  0 (\mod p)$，借助该方法，在枚举x值的过程中便不需要使用高精度计算了。

如果逆着推上面的式子，会发现存在有x，使得$\sum _{0}^n (a_{i}x^i \mod p ) \equiv  0 (\mod p)$，但$(\sum _{0}^n a_{i}x^i) \neq 0$。为了避免推出不可行解，首先$p$尽可能地取大，其次是多选几个$p$分别进行取模，降低通过逆定理求出错误的$x$的概率(我比较懒只对一个大质数取模，结果过掉了)

#include<bits/stdc++.h>
#define M 2000000
#define MOD 100000007
#define L long long
using namespace std;
L rd(){
    int zf=1; char c; L k=0;
    for(c=getchar();!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') zf=-1;
    for(;isdigit(c);c=getchar()) k=(k*10+c-'0')%MOD;
    return k*zf;
}
L a[M]={0},n,m,p[M]={0},ans=0;
bool check(int x){
    L sum=0;
    for(int i=n;i>=0;i--)
    sum=(a[i]+sum+MOD)*x%MOD;
    return sum==0;
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<=n;i++) a[i]=rd();
    for(int i=1;i<=m;i++) if(check(i)){
        ans++; p[i]=1;
    }
    printf("%d\n",ans);
    for(int i=1;i<=m;i++) if(p[i])
    printf("%d\n",i);
}