【NOIP2016提高组】 Day1 T3 换教室

 

题目链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1850

此题正解为dp。

我们先用floyd处理出任意两个教室之间的距离，用$dis[i][j]$表示。

用$f[i][j][0..1]$表示在前$i$个课程中，用了$j$次换课的机会，第$i$节课选择换还是不换。

$f[i][j][0]$可以选择用$f[i-1][j][0]$更新（即第$i-1$节课选择不换课），代价为$dis[c[i-1]][c[i]]$。

同时，第$i-1$节课也可以选择换课，若换课成功，代价为$dis[d[i-1]][c[i]]$，概率为$k[i-1]$。若换课不成功，则代价还是$dis[c[i-1]][c[i]]$，概率为$(1-k[i-1])$。

则$f[i][j][0]=min(f[i-1][j][0]+dis[c[i-1]][c[i]]，(f[i-1][j-1][1]+dis[d[i-1]][c[i]])*k[i-1]+(f[i-1][j][0]+dis[c[i-1]][c[i]])*(1-k))$;

 

同理，$f[i][j][1]$可以选择用$f[i-1][j][0]$更新，若换课成功，代价为$dis[c[i-1]][d[i]]$，概率为$k[i]$。若换课不成功，则代价是$dis[c[i-1]][c[i]]$，概率为$(1-k[i])$。

同时，$f[i][j][1]$也可以选择用$f[i-1][j][1]$更新。

若两次换课均成功，代价为$dis[d[i-1]][d[i]]$，概率为$k[i]*k[i-1]$。

若两次换课均不成功，代价为$dis[c[i-1]][c[i]]$，概率为$(1-k[i])*(1-k[i-1])$。

若第$i$次成功而第$i-1$次不成功，代价为$dis[c[i-1]][d[i]]$，概率为$(1-k[i-1])*k[i]$。

若第$i$次不成功而第$i-1$次成功，代价为$dis[d[i-1]][c[i]]$，概率为$k[i-1]*(1-k[i])$。

则$f[i][j][1]=min((f[i-1][j][0]+dis[c[i-1]][d[i]])*k[i]+(f[i-1][j][0]+dis[c[i-1]][c[i]])*(1-k[i])，f[i-1][j][1] + dis[d[i-1]][d[i]]*k[i]*k[i-1] + dis[c[i-1]][c[i]]*(1-k[i])*(1-k[i-1]) + dis[c[i-1]][d[i]]*(1-k[i-1])*k[i] + dis[d[i-1]][c[i]]*k[i-1]*(1-k[i]))$。

 

可以看出每次转移是$O(1)$的，则时间复杂度为$O(n*m)+O(v^3)$。

最终结果为$min(f[n][i][k]) i∈[0,m]，j∈[0,1]$。

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define M 2002
using namespace std;
int n,m,v,e,c[M]={0},d[M]={0};
double p[M]={0},dis[305][305]={0},f[M][M][2]={0},minn=123456789;
void pmin(double &x,double y){
    x=min(x,y);
}
 
int main(){
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&v,&e);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",c+i);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",d+i);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf",p+i);
    for(int i=1;i<=v;i++)
        for(int j=1;j<=v;j++) dis[i][j]=12345678;
    for(int i=1;i<=e;i++){
        int x,y,z;scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        pmin(dis[x][y],z); pmin(dis[y][x],z);
    }
    for(int i=1;i<=v;i++) dis[i][i]=0;
    for(int k=1;k<=v;k++)
    for(int i=1;i<=v;i++)
    for(int j=1;j<=v;j++)
    dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
    for(int i=0;i<=n;i++) 
        for(int j=0;j<=m;j++) f[i][j][0]=f[i][j][1]=12345678;
    f[1][0][0]=0; f[1][1][1]=0; 
    for(int i=1;i<n;i++)
    for(int j=0;j<=min(i,m);j++){
        pmin(f[i+1][j][0],f[i][j][0]+dis[c[i]][c[i+1]]);
        double px;px=dis[c[i]][d[i+1]]*p[i+1]+dis[c[i]][c[i+1]]*(1-p[i+1]);
        pmin(f[i+1][j+1][1],f[i][j][0]+px);
        px=dis[d[i]][c[i+1]]*p[i]+dis[c[i]][c[i+1]]*(1-p[i]);
        pmin(f[i+1][j][0],f[i][j][1]+px);
        px=dis[d[i]][d[i+1]]*p[i]*p[i+1]+dis[d[i]][c[i+1]]*p[i]*(1-p[i+1])+dis[c[i]][d[i+1]]*(1-p[i])*p[i+1]+dis[c[i]][c[i+1]]*(1-p[i])*(1-p[i+1]);
        pmin(f[i+1][j+1][1],f[i][j][1]+px);
    }
     
    for(int i=0;i<=m;i++){
        minn=min(minn,f[n][i][0]);
        minn=min(minn,f[n][i][1]);
    } 
    printf("%.2lf\n",minn);
}