【xsy2978】Product of Roots 生成函数+多项式ln+多项式exp

题目大意：给你两个多项式$f(x)$和$g(x)$，满足$f(x)=\prod\limits_{i=1}^{n}(a_i+1)$，$g(x)=\prod\limits_{i=1}^{m}(b_i+1)$。

现在给你一个多项式$h(x)$，满足$h(x)=\prod\limits_{i=1}^{n}\prod\limits_{j=1}^{m}(a_ib_j+1)$

请输出多项式$h$的前$k$项，在模$998244353$意义下进行。

 

数据范围：$n,m≤10^5$。

我们现在有:

$f(x)=\prod\limits_{i=1}^{n}(a_i+1)$

我们在等式两边都取对数，然后泰勒展开，得到：

$\begin{align} ln \big(f(x)\big) =&\sum\limits_{i=1}^{n} ln(a_i+1) \\=&\sum\limits_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k}x^ka_i^{k}\end{align}$

我们不难推出：

$[x^k]ln(f(x))=\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}a_i^{k}$

$g(x)$同理。

 

我们现在来考虑$h(x)$，我们现在有：

$h(x)=\prod\limits_{i=1}^{n}\prod\limits_{j=1}^{m}(a_ib_j+1)$

和上面一样，我们在等式两边都取对数，然后泰勒展开，得到：

$\begin{align} ln\big(h(x)\big) =&\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}ln(a_ib_j+1)\\ =&\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k}x^ka_i^{k}b_j^{k}\\ =&\sum\limits_{k=1}^{\infty}x^k \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}a_i^{k}\sum\limits_{i=1}^{m} b_i^{k}\\ =&\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{k}{(-1)^{k+1}}x^k \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}a_i^{k}\sum\limits_{i=1}^{m} \frac{(-1)^{k+1}}{k}b_i^{k}\\ \end{align}$

我们不难推出：

$\begin{align}[x^k]ln(h(x))=&\frac{k}{(-1)^{k+1}} \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}a_i^{k}\sum\limits_{i=1}^{m} \frac{(-1)^{k+1}}{k}b_i^{k}\\ =&\frac{k}{(-1)^{k+1}}[x^k]ln\big(f(x)\big)[x^k]ln\big(g(x)\big) \end{align}$

 

 

 

 

 

 

我们可以考虑，用多项式求$ln$，求出$ln\big(f(x)\big)$和$ln\big(g(x)\big)$，然后求出$ln(h(x))$后再用多项式$exp$算回去，就得到多项式$h$了。

套一个多项式的板子就可以了。

完结撒花

#include<bits/stdc++.h>
#define M (1<<19)
#define L long long
#define MOD 998244353
#define G 3
using namespace std;

L pow_mod(L x,L k){
    L ans=1;
    while(k){
        if(k&1) ans=ans*x%MOD;
        x=x*x%MOD; k>>=1;
    }
    return ans;
}

void change(L a[],int n){
    for(int i=0,j=0;i<n-1;i++){
        if(i<j) swap(a[i],a[j]);
        int k=n>>1;
        while(j>=k) j-=k,k>>=1;
        j+=k;
    }
}
void NTT(L a[],int n,int on){
    change(a,n);
    for(int h=2;h<=n;h<<=1){
        L wn=pow_mod(G,(MOD-1)/h);
        for(int j=0;j<n;j+=h){
            L w=1;
            for(int k=j;k<j+(h>>1);k++){
                L u=a[k],t=w*a[k+(h>>1)]%MOD;
                a[k]=(u+t)%MOD;
                a[k+(h>>1)]=(u-t+MOD)%MOD;
                w=w*wn%MOD;
            }
        }
    }
    if(on==-1){
        L inv=pow_mod(n,MOD-2);
        for(int i=0;i<n;i++) a[i]=a[i]*inv%MOD;
        reverse(a+1,a+n);
    }
}

void getinv(L a[],L b[],int n){
    if(n==1){b[0]=pow_mod(a[0],MOD-2); return;}
    static L c[M],d[M];
    memset(c,0,n<<4); memset(d,0,n<<4);
    getinv(a,c,n>>1);
    for(int i=0;i<n;i++) d[i]=a[i];
    NTT(d,n<<1,1); NTT(c,n<<1,1);
    for(int i=0;i<(n<<1);i++) b[i]=(2*c[i]-d[i]*c[i]%MOD*c[i]%MOD+MOD)%MOD;
    NTT(b,n<<1,-1);
    for(int i=0;i<n;i++) b[n+i]=0;
}

void qiudao(L a[],L b[],int n){
    memset(b,0,sizeof(b));
    for(int i=1;i<n;i++) b[i-1]=i*a[i]%MOD;
}
void jifen(L a[],L b[],int n){
    memset(b,0,sizeof(b));
    for(int i=0;i<n;i++) b[i+1]=a[i]*pow_mod(i+1,MOD-2)%MOD;
}

void getln(L a[],L b[],int n){
    static L c[M],d[M];
    memset(c,0,n<<4); memset(d,0,n<<4);
    qiudao(a,c,n); getinv(a,d,n);
    NTT(c,n<<1,1); NTT(d,n<<1,1);
    for(int i=0;i<(n<<1);i++) c[i]=c[i]*d[i]%MOD;
    NTT(c,n<<1,-1);
    jifen(c,b,n);
}

void getexp(L a[],L b[],int n){
    if(n==1){b[0]=1; return;}
    static L lnb[M]; memset(lnb,0,n<<4);
    getexp(a,b,n>>1); getln(b,lnb,n);
    for(int i=0;i<n;i++) lnb[i]=(a[i]-lnb[i]+MOD)%MOD,b[i+n]=0;
    lnb[n]=0;
    lnb[0]=(lnb[0]+1)%MOD;
    NTT(lnb,n<<1,1); NTT(b,n<<1,1);
    for(int i=0;i<(n<<1);i++) b[i]=b[i]*lnb[i]%MOD;
    NTT(b,n<<1,-1);
    for(int i=0;i<n;i++) b[i+n]=0;
}

int n,m,k,len;
L f[M]={0},g[M]={0},h[M]={0},lf[M]={0},lg[M]={0},lh[M]={0};

int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for(len=1;len<=(n+m+2);len<<=1);
    for(int i=0;i<=n;i++) scanf("%lld",f+i);
    for(int i=0;i<=m;i++) scanf("%lld",g+i);
    getln(f,lf,len);
    getln(g,lg,len);
    for(int i=0;i<len;i++) lh[i]=(lf[i]*lg[i]%MOD*(i&1?i:-i)%MOD+MOD)%MOD;
    getexp(lh,h,len);
    for(int i=0;i<k;i++) printf("%lld ",h[i]);
}