【xsy1301】 原题的价值 组合数+斯特林数+FFT

题目大意：求$n\times2^{\frac{(n-1)(n-2)/2}{2}}\sum\limits_{i=0}^{n-1}\dbinom{n-1}{i}i^k$

数据范围：$n≤10^9$，$k≤10^5$，答案对$998244353$取模。

---

 

我们令$F(n,k)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i}i^k$。

那么最终要输出的东西显然就是$n\times2^{\frac{(n-1)(n-2)/2}{2}}F(n,k)$

我们令$G(n,k)=(n-1)^\underline{k}2^{n-1-k}$

 

我们先考虑下当$k=0$的时候要怎么做，我们显然有：

$F(n,0)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i}=2^{n-1}$

化简是根据二项式定理来的，在此不展开说了。

 

考虑下当$k=1$的时候要怎么做：

$F(n,1)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\dbinom{n-1}{i}i
\\
=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\dfrac{(n-1)!}{i!(n-1-i)!}i
\\
=\sum\limits_{i=1}^{n-1}\dfrac{(n-1)!}{(i-1)!(n-1-i)!}
\\
=\sum\limits_{i=1}^{n-1}\dfrac{(n-1)!}{(i-1)!((n-2)-(i-1))!}
\\
=(n-1)\sum\limits_{i=1}^{n-1}\dfrac{(n-2)!}{(i-1)!((n-2)-(i-1))!}
\\
=（n-1)\sum\limits_{i=1}^{n-1}\dbinom{n-2}{i-1}
\\
=(n-1)F(n-1,0)=G(n,1)$

 

我们考虑按照$k=1$的化简方法来化简$k=2$，由于跟上文比较相似，所以可能会有不少的跳步

$F(n,2)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\dbinom{n-1}{i}i^2$

$=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\dfrac{(n-1)!}{i!(n-1-i)!}i^2$

$=(n-1)\sum\limits_{i=1}^{n-1}\dbinom{n-2}{i-1}i$

$=(n-1)\sum\limits_{i=1}^{n-1}\dfrac{(n-2)!}{(i-1)!\big((n-2)-(i-1)\big)!}\big((i-1)+1\big)$

$=F(n-1,1)+(n-1)\sum\limits_{i=1}^{n-1}\dfrac{(n-2)!}{(i-2)!\big((n-3)-(i-2)\big)!}$

$=F(n-1,1)+(n-1)(n-2)\sum\limits_{i=1}^{n-1}\dfrac{(n-3)!}{(i-2)!\big((n-3)-(i-2)\big)!}$

$=F(n-1,1)+(n-1)(n-2)F(n-2,0)$

$=G(n,1)+G(n,2)$

 

 
根据k=2的推法，我们推出了$k=3$和$k=4$的情况：

$F(n,3)=G(n,1)+3G(n,2)+4G(n,3)$

$F(n,4)=G(n,1)+7G(n,2)+6G(n,3)+G(n,4)$

诶？这不是斯特林三角形吗（证明显然，这里不证了）

 

于是有：

$F(n,m)=\sum\limits_{i=1}^{m}S2(n,i)G(n,i)$

$G(n,1\cdots k)$可以在$O(k)$的时间复杂度内求出来，$S2(n,1\cdots k)$可以在$O(k\log\ k)$的复杂度内用FFT求出来。

完结撒花~

 

 

#include<bits/stdc++.h>
#define MOD 998244353
#define L long long
#define M (1<<18)
#define G 3
using namespace std;

L fac[M]={0},invfac[M]={0};
L pow_mod(L x,L k){L ans=1;for(;k>0;k>>=1,x=x*x%MOD) if(k&1) ans=ans*x%MOD; return ans;}
L C(int n,int m){return fac[n]*invfac[m]%MOD*invfac[n-m]%MOD;}

void change(L a[],int n){
    for(int i=0,j=0;i<n-1;i++){
        if(i<j) swap(a[i],a[j]);
        int k=n>>1;
        while(j>=k) j-=k,k>>=1;
        j+=k;
    }
}
void NTT(L a[],int n,int on){
    change(a,n);
    for(int h=2;h<=n;h<<=1){
        L wn=pow_mod(G,(MOD-1)/h);
        for(int j=0;j<n;j+=h){
            L w=1;
            for(int k=j;k<j+(h>>1);k++){
                L u=a[k],t=a[k+(h>>1)]*w%MOD;
                a[k]=(u+t)%MOD;
                a[k+(h>>1)]=(u-t+MOD)%MOD;
                w=w*wn%MOD;
            }
        }
    }
    if(on==-1){
        reverse(a+1,a+n);
        L INV=pow_mod(n,MOD-2);
        for(int i=0;i<n;i++) a[i]=a[i]*INV%MOD;
    }
}
L a[M]={0},b[M]={0},s[M]={0},nc[M]={0};

int main(){
    fac[0]=1; for(int i=1;i<M;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%MOD;
    invfac[M-1]=pow_mod(fac[M-1],MOD-2);
    for(int i=M-2;~i;i--) invfac[i]=invfac[i+1]*(i+1)%MOD;
    L n,k,ans=0; cin>>n>>k;
    if(k==0) return printf("%lld\n",n*pow_mod(2,(n-1)*n/2)%MOD);
    for(L i=0,mul=1;i<k;i++){
        mul=mul*(n-i-1)%MOD;
        nc[i+1]=mul*pow_mod(2,n-i-2)%MOD;
    }
    for(int i=0;i<=k;i++){
        a[i]=pow_mod(MOD-1,i)*invfac[i]%MOD;
        b[i]=pow_mod(i,k)*invfac[i]%MOD;
    }
    int len=1; while(k*2>=len) len<<=1;
    NTT(a,len,1); NTT(b,len,1);
    for(int i=0;i<len;i++) s[i]=a[i]*b[i]%MOD;
    NTT(s,len,-1);
    for(int i=k+1;i<len;i++) s[i]=0;
    
    for(int i=1;i<=k;i++)
    (ans+=nc[i]*s[i])%=MOD;
    
    cout<<ans*n%MOD*pow_mod(2,(n*(n-1)/2-(n-1)))%MOD<<endl;
}