【2019北京集训测试赛（十三）】函树 虚树

题目大意：给你一颗$n$个节点的树，定义$d(x,y)=$点$x$到点$y$最短路上经过的边数。

求$\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} \varphi(i\times j)\times d(i,j)$

答案对998244353$取模。

 

我们对这个式子做一些细微的处理，设最终的答案为$ans$：

$ans=\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} \varphi(i\times j)\times d(i,j)$

$=\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} \varphi(i)\varphi(j)\frac{gcd(i,j)}{\varphi(gcd(i,j))}\times d(i,j)$

我们设$F(d)=\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1,d|gcd(i,j)}^{n} \varphi(i)\varphi(j)\times d(i,j)$

那么，$ans=\sum\limits_{d=1}^{n} \frac{d}{\varphi(d)} \sum\limits_{p|d} F(p)\times G(\frac{d}{p})$

对于$G(x)$，设$x=\prod\limits_{i=1}^{k} p_i$，$p_i$是质数，$G(x)=(-1)^k$

 

我们考虑如何求$F(d)$。

显然，我们只需要把所有点权能被$d$整除的点找出来，建一棵虚树，统计每条虚树边两端的\$sum \varphi(i)$，把它们乘起来，再乘上虚树边边长即可。

由于点权等于编号，所以n棵虚树的总点数是$O(n\ln\ n)$级别的，单次构建虚树的复杂度是$O(size\log\ size)$的，所以并不会$T$掉。

然后就没有了，总复杂度是$O(n\log^2\ n)$的。

#include<bits/stdc++.h>
#define M 100005
#define MOD 998244353
#define L long long
using namespace std;

int pri[M]={0},b[M]={0},phi[M]={0},zf[M]={0},Use=0;
void init(){
    phi[1]=1; zf[1]=1;
    for(int i=2;i<M;i++){
        if(!b[i]) pri[++Use]=i,phi[i]=i-1,zf[i]=-1;
        for(int j=1;j<=Use&&i*pri[j]<M;j++){
            b[i*pri[j]]=1; zf[i*pri[j]]=-zf[i];
            if(i%pri[j]==0) {phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j]; break;}
            phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);
        }
    }
}

L pow_mod(L x,L k){L ans=1; for(;k;k>>=1,x=x*x%MOD) if(k&1) ans=ans*x%MOD; return ans;}
vector<int> G[M];

struct edge{int u,v,next;}e[M*2]={0}; int head[M]={0},use=0;
void add(int x,int y,int z){use++;e[use].u=y;e[use].v=z;e[use].next=head[x];head[x]=use;}
int n,a[M]={0};

int dep[M]={0},dfn[M]={0},low[M]={0},f[M][20]={0},t=0;
void dfs(int x,int fa){
    dep[x]=dep[fa]+1; dfn[x]=++t; f[x][0]=fa;
    for(int i=1;i<20;i++) f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];
    for(int i=0;i<G[x].size();i++) if(G[x][i]!=fa) dfs(G[x][i],x);
    low[x]=t;
}
int getlca(int x,int y){
    if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y); int cha=dep[x]-dep[y];
    for(int i=19;~i;i--) if((1<<i)&cha) x=f[x][i];
    if(x==y) return x;
    for(int i=19;~i;i--) if(f[x][i]!=f[y][i]) x=f[x][i],y=f[y][i];
    return f[x][0];
}

vector<int> D[M]; L F[M]={0};

bool cmp(int x,int y){return dfn[x]<dfn[y];}
int point[M]={0},stk[M]={0},is[M]={0},pcnt=0,cnt=0,nowt=0;
void build(){
    pcnt=cnt; int siz=0; nowt=0;
    sort(point+1,point+cnt+1,cmp);
    for(int i=1;i<=cnt;i++){
        int last=0;
        while(siz&&getlca(stk[siz],point[i])!=stk[siz]) last=stk[siz],stk[siz--]=0;
        if(last){
            int lca=getlca(last,point[i]);
            if(lca!=stk[siz]){
                stk[++siz]=lca;
                point[++pcnt]=lca;
                is[lca]=0;
            }
        }
        stk[++siz]=point[i]; is[point[i]]=1;
    }
    sort(point+1,point+pcnt+1,cmp);
    while(siz) stk[siz--]=0;
}
L sumphi[M]={0},sum=0;
int dfs(int x){
    if(is[x]) sumphi[x]=phi[a[x]]; else sumphi[x]=0; 
    int v; nowt++;
    while(dfn[v=point[nowt]]<=low[x]&&nowt<=pcnt){
        dfs(v);
        sumphi[x]=(sumphi[x]+sumphi[v])%MOD;
    }
}
void getans(int x,L fsum){
    int v; nowt++; 
    while(dfn[v=point[nowt]]<=low[x]&&nowt<=pcnt){
        sum=(sum+1LL*(dep[v]-dep[x])*sumphi[v]%MOD*(fsum+sumphi[x]-sumphi[v]+MOD))%MOD;
        getans(v,(fsum+sumphi[x]-sumphi[v])%MOD);
    }
}
void solve(int x){
    while(pcnt)point[pcnt--]=0; cnt=sum=0;
    for(int i=0;i<D[x].size();i++){
        point[++cnt]=D[x][i];
    }
    build();
    nowt=1; dfs(point[1]);
    nowt=1; getans(point[1],0);
    F[x]=sum;
}

int main(){
//    freopen("in.txt","r",stdin);
//    freopen("out.txt","w",stdout);
    init();
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        a[i]=i; //scanf("%d",a+i);
        for(int j=1;j*j<=a[i];j++) if(a[i]%j==0){
            D[j].push_back(i);
            if(j*j!=a[i]) D[a[i]/j].push_back(i);
        }
    }
    for(int i=1;i<n;i++){
        int x,y; scanf("%d%d",&x,&y);
        G[x].push_back(y); G[y].push_back(x);
    }
    dfs(1,0);
    for(int i=1;i<=n;i++) solve(i);
    for(int i=n;i;i--){
        for(int j=i*2;j<=n;j+=i)
        F[i]=(F[i]-F[j]+MOD)%MOD;
    }
    L ans=0;
    for(int d=1;d<=n;d++)
    ans=(ans+F[d]*d%MOD*pow_mod(phi[d],MOD-2))%MOD;
    cout<<ans*2%MOD<<endl;
    //cout<<ans*2*pow_mod(1LL*n*(n-1)%MOD,MOD-2)%MOD<<endl;
}