【xsy2425】容器 dp

题目大意：有$n$个人，区间大小为$m$，每个人必须覆盖一段区间$[l_i,r_i]$，问你存在多少种不同的覆盖方案，使得区间上每个位置被覆盖的次数不超过$t$。

两种方案被定义为不同当且仅当存在第i个人覆盖的区间不同。

求方案数，对一个质数取模。

数据范围：$n,m,t≤40$

 

我们考虑dp。

设$f[i][j][k]$表示区间的前i个位置，总共有$j$个人参与了覆盖，且有$k$个人同时覆盖了位置$i$，位置$i+1$的方案数。

我们考虑枚举$J$和$K$，需要保证$j<J$

那么我们显然可以用f[i][j][k]的值去更新$f[i+1][J][K]$的值。

从$f[i][j][k]$到$f[i+1][J][K]$，用的人数多了$J-j$个，我们要从$n-j$个人中选出$J-j$个人去增加总人数，方案数显然为$\binom {n-j}{J-j}$。

然后，我们还要保证有$K$个人可以覆盖到$i+2$，而这$K$个人显然只能从$k+(J-j)$个人中选出，方案数显然为$\binom {k+(J-j)}{K}$。

那么转移方程大概长这样：

$f[i+1][J][K]+=f[i][j][k]\times \binom{n-j}{J-j}\times \binom{J-j+k}{K}$

复杂度为$O(nk^4)$

#include<bits/stdc++.h>
#define L long long
#define M 55
#define MOD 1011110011
using namespace std;
 
L n,m,t,c[M][M]={0},f[M][M][M]={0};
 
int main(){
    for(int i=0;i<M;i++){
        c[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=i;j++) c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%MOD;
    }
    cin>>n>>m>>t;
    f[0][0][0]=1;
    for(int i=0;i<n;i++)
    for(int j=0;j<=m;j++)
    for(int k=0;k<=j;k++)
    if(f[i][j][k]){
        for(int J=j;J<=m;J++)
        for(int K=0;K<=J;K++){
            int cnt=J-j+k;
            if(cnt>t) continue;
            (f[i+1][J][K]+=f[i][j][k]*c[m-j][J-j]%MOD*c[cnt][K]%MOD)%=MOD;
        }
    }
    cout<<f[n][m][0]<<endl;
}