【xsy1130】tree 树形dp+期望dp

题目写得不清不楚的。。。

题目大意：给你一棵 $n$ 个节点的树，你会随机选择其中一个点作为根，随后随机每个点深度遍历其孩子的顺序。

下面给你一个点集 $S$ ，问你遍历完 $S$ 中所有点的期望时间，点集S中的点可能会重复。

数据范围： $n≤10^5$

我们考虑钦定根，然后暴力 $dp$ 。

设 $s[u]$ 表示遍历以 $u$ 为根的子树的耗时。

设 $f[u]$ 表示开始遍历子树 $u$ ，且最后遍历在子树 $u$ 中结束的期望耗时。

不难发现， $s[u]=2\times siz[u]-2$ ，其中 $siz[u]$ 为以 $u$ 为根的子树的节点个数。

对于 $u$ 的孩子，我们把它们分成黑点和白点两类，其中黑点v代表以v为根的子树内包含有集合 $S$ 中的点，白点代表不包含有集合 $S$ 中的点。

对于任意一种遍历顺序而言，遍历特征如图所示：

显然， $b_m$ 后的节点是不需要遍历的。

设我们总共有 $m$ 个黑点，则有：

$f[u]=\dfrac{m-1}{m}\sum\limits_{col[v]=black}s[v]+\dfrac{1}{m}\sum\limits_{col[v]=black}(f[v]+1)+\dfrac{m}{m+1}\sum\limits_{col[v]=white}s[v]$

此处的 $v$ 必须满足是 $u$ 的儿子。

我们通过这个 $O(n^2)$ 的暴力转移就可以获得70分的好成绩。

考虑满分做法，我们以 $1$ 为根执行一次 $dfs$ ，求出所有点的f值和s值。

我们进行第二次 $dfs$ ，在 $dfs$ 的过程中维护u的父亲的F值。

然后套入刚刚的公式中去求即可。

复杂度就降低到了 $O(n)$

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define M 1005
 3 using namespace std;
 4 
 5 struct edge{int u,next;}e[M*2]={0}; int head[M]={0},use=0;
 6 void add(int x,int y){use++;e[use].u=y;e[use].next=head[x];head[x]=use;}
 7 
 8 int siz[M]={0},n,S,is[M]={0},ok[M]={0};
 9 double s[M]={0},f[M]={0};
10 
11 void dfs(int x,int fa){
12     siz[x]=1; ok[x]=is[x];
13     int m=0;
14     double sumb=0,sumf=0,sumw=0;
15     for(int i=head[x];i;i=e[i].next) if(e[i].u!=fa){
16         dfs(e[i].u,x);
17         siz[x]+=siz[e[i].u];
18         ok[x]+=ok[e[i].u];
19         if(ok[e[i].u]){
20             m++;
21             sumb+=s[e[i].u];
22             sumf+=f[e[i].u]+1;
23         }else{
24             sumw+=s[e[i].u];
25         }
26     }
27     s[x]=2*siz[x];
28     if(m){
29         f[x]=sumb*(m-1)/m+sumf/m+sumw*m/(m+1);
30     }
31 }
32 
33 int main(){
34     scanf("%d",&n);
35     for(int i=1,x,y;i<n;i++) scanf("%d%d",&x,&y),add(x,y),add(y,x);
36     scanf("%d",&S);
37     for(int i=1,x;i<=S;i++) scanf("%d",&x),is[x]=1;
38     double ans=0;
39     for(int i=1;i<=n;i++){
40         memset(ok,0,sizeof(ok));
41         memset(siz,0,sizeof(siz));
42         memset(s,0,sizeof(s));
43         memset(f,0,sizeof(f));
44         dfs(i,0);
45         ans+=f[i];
46     }
47     printf("%.10lf\n",ans/n);
48 }

放一个暴力

这是正解：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define M 100005
 3 #define D double
 4 using namespace std;
 5 
 6 struct edge{int u,next;}e[M*2]={0}; int head[M]={0},use=0;
 7 void add(int x,int y){use++;e[use].u=y;e[use].next=head[x];head[x]=use;}
 8 
 9 int siz[M]={0},n,S,is[M]={0},ok[M]={0};
10 D s[M]={0},f[M]={0},ans=0;
11 
12 void dfs(int x,int fa){
13     siz[x]=1; ok[x]=is[x];
14     int m=0;
15     D sumb=0,sumf=0,sums=0;
16     for(int i=head[x];i;i=e[i].next) if(e[i].u!=fa){
17         dfs(e[i].u,x);
18         siz[x]+=siz[e[i].u];
19         ok[x]+=ok[e[i].u];
20         if(ok[e[i].u]){
21             m++;
22             sumb+=s[e[i].u];
23             sumf+=f[e[i].u]+1;
24         }else{
25             sums+=s[e[i].u];
26         }
27     }
28     s[x]=2*siz[x];
29     if(m){
30         f[x]=sumb*(m-1)/m+sumf/m+sums*m/(m+1);
31     }
32 }
33 void dfs(int x,int fa,D F){
34     int OK=S-ok[x],m=bool(OK);
35     D sumb=0,sumf=0,sums=0;
36     if(m) sumf+=F,sumb+=2*(n-siz[x]); else sums+=2*(n-siz[x]);
37     for(int i=head[x];i;i=e[i].next) if(e[i].u!=fa){
38         if(ok[e[i].u]) m++,sumb+=s[e[i].u],sumf+=f[e[i].u]+1;
39         else sums+=s[e[i].u];
40     }
41     D res=0; if(m) res=sumb*(m-1)/m+sumf/m+sums*m/(m+1);ans+=res;
42     for(int i=head[x];i;i=e[i].next) if(e[i].u!=fa){
43         if(ok[e[i].u]){
44             m--; sumb-=s[e[i].u]; sumf-=f[e[i].u]+1;
45             if(m) F=sumb*(m-1)/m+sumf/m+sums*m/(m+1); else F=0;
46             m++; sumb+=s[e[i].u]; sumf+=f[e[i].u]+1;
47         }else{
48             sums-=s[e[i].u];
49             if(m) F=sumb*(m-1)/m+sumf/m+sums*m/(m+1); else F=0;
50             sums+=s[e[i].u];
51         }
52         dfs(e[i].u,x,F+1);
53     }
54 }
55 
56 int main(){
57     scanf("%d",&n);
58     for(int i=1,x,y;i<n;i++) scanf("%d%d",&x,&y),add(x,y),add(y,x);
59     scanf("%d",&S); int SS=0;
60     for(int i=1,x;i<=S;i++) scanf("%d",&x),SS+=(is[x]==0),is[x]=1;
61     dfs(1,0); S=SS;
62     dfs(1,0,0);
63     printf("%.10lf\n",ans/n);
64 }