【xsy2913】 enos 动态dp

题目大意：给你一棵 $n$个点 以 $1$为根 的树，每个点有$0,1,2$三种颜色之一，初始时整棵树的颜色均为 $0$。

$m$ 次操作, 每次操作形如:

1 x y c : 将 $x$到$y$的路径上的点全部改为颜色$C$

2 x : 询问 $x$ 所在的同色连通块大小

数据范围：$n,m≤10^5$。

 

 

此题一眼动态dp

首先我们先列出正常的dp式子

设$f[u]$表示以$u$为根的子树中，$u$所在的同色联通块大小

显然,$f[u]=1+\sum_{v∈son[u],col[u]=col[v]} f[v]$

若需要输出某个点$x$的答案，我们需要输出$f[y]$，其中$y$是满足$x$至$y$颜色相同的最远祖先。

 

下面考虑动态dp

我们用树链剖分把原树剖成若干条链，每条链用线段树维护，对于线段树每个节点，我们维护七个变量：

设线段树某个节点表示的区间为$[l_k,r_k]$，这个区间中对应原树的节点编号为$rec[l_k],rec[l_k+1]....rec[r_k]$。

$sum[i]$（$0≤i≤2$）表示当前的区间中，颜色为$i$的节点的个数。

$cnt[i]$（$0≤i≤2$）表示原树中所有与$rec[l_k....r_k]$相连的，且颜色为$i$的轻儿子中，满足以这些儿子为根的子树中，这些点所在的同色联通快大小之和。

$tag$为涂色标记，表示区间$[l_k,r_k]$中的点是否被刷成了同一个颜色。

 

首先考虑查询$x$所在的联通块大小，令$id[x]$表示节点x在原树中的$dfs$序，$col[x]$表示第$x$个节点当前的颜色，$top[x]$表示$x$所在重链链顶节点编号

我们首先在$x$所在的重链上，查询出$L$和$R$，满足$L≤x≤R$，且节点$rec[L],rec[L+1]...rec[x]...rec[R]$的颜色是一样的，答案显然要累加上这一段节点的贡献。

查询这部分的贡献我们可以在线段树上向x两侧二分查找即可，详见代码。

然后我们需要加上所有与区间$[L,R]$相连的轻链上的贡献。查询这部分信息直接在线段树上将$cnt$的信息累加一下就可以了。

 

我们目前只统计了x所在重链的情况，上方的重链我们尚未统计

若$rec[L]=top[x]$，说明$x$所在的联通块可能会与$top[x]$上方的节点相连，这个时候需要去统计下上方的贡献。

否则直接退出就可以了。

 

下面考虑修改操作

我们按照正常树剖的操作来处理，假设我们当前要更改$[x',x]$的颜色

我们显然现在线段树上对这一个区间更新一下颜色。

然后我们发现，这么操作的话，以$top[x]$为根的树种，$top[x]$所在同色联通块大小可能会变，这个时候我们需要重新求一下“以$top[x]$为根，$top[x]$所在同色联通块大小”，并将这个值上传更新上一条链的cnt值。

（详见代码）

这里有一个要注意的地方，更新区间的颜色可以只更新到$lca(x,y)$，但是更新联通块大小必须更新到根（场上错在这里）

然后就没有了

 

注意细节！

#include<bits/stdc++.h>
#define M 100005
#define mid ((a[x].l+a[x].r)>>1)
using namespace std;

struct seg{int l,r,tag,sum[3],cnt[3];}a[M<<2]={0};
void build(int x,int l,int r){
    a[x].l=l; a[x].r=r; a[x].tag=-1; if(l==r) return;
    build(x<<1,l,mid); build(x<<1|1,mid+1,r);
}
void upd(int x,int k){
    a[x].sum[0]=a[x].sum[1]=a[x].sum[2]=0;
    a[x].tag=k; a[x].sum[k]=a[x].r-a[x].l+1;
}
void pushdown(int x){
    if(a[x].tag!=-1) upd(x<<1,a[x].tag),upd(x<<1|1,a[x].tag);
    a[x].tag=-1;
}
void pushup(int x){
    for(int i=0;i<3;i++){
        a[x].sum[i]=a[x<<1].sum[i]+a[x<<1|1].sum[i];
        a[x].cnt[i]=a[x<<1].cnt[i]+a[x<<1|1].cnt[i];
    }
}
void updatacol(int x,int l,int r,int col){
    if(l<=a[x].l&&a[x].r<=r) return upd(x,col);
    pushdown(x); 
    if(l<=mid) updatacol(x<<1,l,r,col);
    if(mid<r) updatacol(x<<1|1,l,r,col);
    pushup(x);
}
void updatacnt(int x,int id,int col,int val){
    if(a[x].l==a[x].r)return void(a[x].cnt[col]+=val);
    pushdown(x);
    if(id<=mid) updatacnt(x<<1,id,col,val);
    else updatacnt(x<<1|1,id,col,val);
    pushup(x);
}
int querycnt(int x,int l,int r,int col){
    if(l<=a[x].l&&a[x].r<=r) return a[x].cnt[col];
    pushdown(x); int res=0;
    if(l<=mid) res+=querycnt(x<<1,l,r,col);
    if(mid<r) res+=querycnt(x<<1|1,l,r,col);
    return res;
}
int querycol(int x,int id){
    if(a[x].l==a[x].r){
        if(a[x].sum[0]) return 0;
        if(a[x].sum[1]) return 1;
        return 2;
    }
    pushdown(x); 
    if(id<=mid) return querycol(x<<1,id);
    return querycol(x<<1|1,id);
}
int queryUP(int x,int l,int r,int col){
    if(l<=a[x].l&&a[x].r<=r){
        if(a[x].sum[col]==a[x].r-a[x].l+1) return a[x].l;
    }
    if(a[x].l==a[x].r) return 0;
    pushdown(x);
    if(mid<r){
        int res=queryUP(x<<1|1,l,r,col);
        if(res!=mid+1) return res;
        int res2=0;
        if(l<=mid) res2=queryUP(x<<1,l,r,col);
        if(res2) return res2;
        return res;
    }
    return queryUP(x<<1,l,r,col);
}
int queryDN(int x,int l,int r,int col){
    if(l<=a[x].l&&a[x].r<=r){
        if(a[x].sum[col]==a[x].r-a[x].l+1) return a[x].r;
    }
    if(a[x].l==a[x].r) return 0;
    pushdown(x);
    if(l<=mid){
        int res=queryDN(x<<1,l,r,col);
        if(res!=mid) return res;
        int res2=0;
        if(mid<r) res2=queryDN(x<<1|1,l,r,col);
        if(res2) return res2;
        return res;
    }
    return queryDN(x<<1|1,l,r,col);
}

struct edge{int u,next;}e[M]={0}; int head[M]={0},use=0;
void add(int x,int y){use++;e[use].u=y;e[use].next=head[x];head[x]=use;}
int fa[M]={0},id[M]={0},siz[M]={0},son[M]={0},dep[M]={0},top[M]={0},dn[M]={0},t=0,n,m;
int last[M]={0},rec[M]={0};

void dfs(int x){
    siz[x]=1;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].next){
        fa[e[i].u]=x; dep[e[i].u]=dep[x]+1;
        dfs(e[i].u);
        siz[x]+=siz[e[i].u];
        if(siz[son[x]]<siz[e[i].u]) son[x]=e[i].u;
    }
}
void dfs(int x,int Top){
    top[x]=Top; id[x]=++t; rec[t]=x;
    if(son[x]){
        dfs(son[x],Top);
        dn[x]=dn[son[x]];
    }else{
        updatacol(1,id[Top],id[x],0);
        dn[x]=x;
    }
    for(int i=head[x];i;i=e[i].next) if(e[i].u!=son[x]){
        dfs(e[i].u,e[i].u);
        updatacnt(1,id[x],0,last[e[i].u]=siz[e[i].u]);
    }
}

int Query(int x,int col){
    if(!x) return 0;
    int l=id[top[x]],r=id[dn[x]];
    int L=queryUP(1,l,id[x],col); 
    int R=queryDN(1,id[x],r,col); 
    int res=(R-L+1)+querycnt(1,L,R,col);
    if(rec[L]==top[x]&&fa[top[x]]&&querycol(1,id[fa[top[x]]])==col) 
    return Query(fa[top[x]],col);
    return res;
}

void Updata(int x,int y,int col,int chg){
    if(!x) return;
    int Lastcol;
    if(top[x]==top[y]){
        if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
        Lastcol=querycol(1,id[top[x]]);
        if(chg) updatacol(1,id[y],id[x],col);
    }else{
        if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
        Lastcol=querycol(1,id[top[x]]);
        if(chg) updatacol(1,id[top[x]],id[x],col);
    }
    int Topcol=querycol(1,id[top[x]]);
    int L=id[top[x]];
    int R=queryDN(1,L,id[dn[x]],Topcol);
    int val=(R-L+1)+querycnt(1,L,R,Topcol);
    if(fa[top[x]]){
        updatacnt(1,id[fa[top[x]]],Lastcol,-last[top[x]]);
        updatacnt(1,id[fa[top[x]]],Topcol,val);
    }
    last[top[x]]=val;
    if(top[x]!=top[y]) Updata(fa[top[x]],y,col,1);
    else Updata(fa[top[x]],fa[top[x]],col,0);
}

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    build(1,1,n);
    for(int i=2,x;i<=n;i++) scanf("%d",&x),add(x,i);
    dfs(1); dfs(1,1);
    while(m--){
        int op,x,y,col; scanf("%d%d",&op,&x);
        if(op==2) printf("%d\n",Query(x,querycol(1,id[x])));
        else{
            scanf("%d%d",&y,&col);
            Updata(x,y,col,1);
        }
    }
}