【xsy1131】tortue FFT

题目大意：

一次游戏要按N个按键。每个按键阿米巴有P[i]的概率按错。对于一串x个连续按对的按键，阿米巴可以得分

$f(x)=tan(\dfrac{x}{N})\times e^{arcsin(0.8\times \frac{x}{N})}\times N$

在阿米巴疯狂的玩这款游戏之前，小强想知道，阿米巴的期望得分是多少。

数据范围：$n≤10^5$

 

貌似题解是泰勒展开，然而我自己想的做法是分治FFT，最后写了个没有分治的FFT。

我们记$S_i$表示连续按下至少$i$个按键的期望次数。

那么答案显然为$\sum_{i=1}^{n}S_i-2S_{i+1}+S_{i+2}$

考虑如何求$S$，不难发现$S_i=\sum_{j=1}^{n-i+1}\prod_{k=0}^{i-1}(1-P[j+k])$

直接求显然是$O(n^3)$的，通过前缀积优化一发可以做到$O(n^2)$

我们构造序列$F$和序列$G$，令$F_i=\prod_{j=1}^{i}(1-P[j])$，$G_i=\dfrac{1}{\prod_{j=1}^{i-1}(1-P[n-j])}$。

不难发现，$S_i=\sum_{j=1}^{i}F_{j}G_{i-j+1}$

我们用FFT加速一波就可以求了

 

时间复杂度：$O(n\log\ n)$。

PS：此题卡精度，不要尝试使用两次FFT做卷积，要用三次FFT！！！

 

#include<bits/stdc++.h>
#define M (1<<18)
#define PI acos(-1)
using namespace std;

struct cp{
    double i,r;
    cp(double R=0,double I=0){i=I; r=R;}
    friend cp operator +(cp a,cp b){return cp(a.r+b.r,a.i+b.i);}
    friend cp operator -(cp a,cp b){return cp(a.r-b.r,a.i-b.i);}
    friend cp operator *(cp a,cp b){return cp(a.r*b.r-a.i*b.i,a.r*b.i+a.i*b.r);}
    friend cp operator /(cp a,double b){return cp(a.r/b,a.i/b);}
}a[M],b[M];
void change(cp a[],int len){
    for(int i=0,j=0;i<len-1;i++){
        if(i<j) swap(a[i],a[j]);
        int k=len>>1;
        while(j>=k) j-=k,k>>=1;
        j+=k;
    }
}
void FFT(cp a[],int len,int on){
    change(a,len);
    for(int h=2;h<=len;h<<=1){
        cp wn=cp(cos(2*PI/h),sin(2*PI/h*on));
        for(int j=0;j<len;j+=h){
            cp w=cp(1,0);
            for(int k=j;k<j+(h>>1);k++){
                cp u=a[k],t=w*a[k+(h>>1)];
                a[k]=u+t; a[k+(h>>1)]=u-t;
                w=w*wn;
            }
        }
    }
    if(on==-1){
        for(int i=0;i<len;i++)
        a[i]=a[i]/len;
    }
}

double p[M]={0},s[M]={0},ans=0;int n;
double f(double x){return tan(x/n)*exp(asin(0.8*x/n))*n;}

int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++) scanf("%lf",p+i),p[i]=1-p[i];
    a[0].r=1; for(int i=0;i<n-1;i++) a[i+1].r=a[i].r/p[i];
    b[n-1].r=p[0]; for(int i=n-2;~i;i--) b[i].r=b[i+1].r*p[n-i-1];
    int m=1; for(;m<n*2;m<<=1);
    FFT(a,m,1); FFT(b,m,1);
    for(int i=0;i<m;i++) a[i]=a[i]*b[i];
    FFT(a,m,-1);
    for(int i=1;i<=n;i++) s[i]=a[n-i].r;
    for(int i=1;i<=n;i++) ans+=(s[i]-2*s[i+1]+s[i+2])*f(i);
    printf("%.10lf\n",ans);
}