【xsy1144】选物品主席树

题目大意： $N$ 件物品摆成一排，给每个物品定义两个属性 $A$ 和 $B$ ，两件物品的差异度定义为它们两种属性的差的绝对值中较大的一个。如果要求出一些物品的差异度，我们先定义一个理想物品，使它与这些物品中每个物品的差异度的和最小，这些物品的差异度就是这个最小的和。给定 $N$ 个物品和Q组询问，询问从 $L$ 到 $R$ 的物品差异度为多少。

我们设物品 $i$ 和物品 $j$ 之间的差异度为 $D$ ，则

$D=max\{|A_i-A_j|,|B_i-B_j|\}$

$=max\{A_i-A_j,A_j-A_i,B_i-B_j,B_j-B_i\}$

我们令 $X_i=A_i+B_i，X_j=A_j+B_j，Y_i=A_i-B_i，Y_j=A_j-B_j$ 。

则有 $D=max\{(X_i-X_j)+(Y_i-Y_j),(X_i-X_j)-(Y_i-Y_j),-(X_i-X_j)+(Y_i-Y_j),-(X_i-X_j)-(Y_i-Y_j)\}$

简单化简后， $D=|X_i-X_j|+|Y_i-Y_j|$ 。

对于每一件物品，我们求出其对应的 $X$ 值和 $Y$ 值。

我们建两棵主席树，分别维护 $X$ 值和 $Y$ 值。

查询一个区间时，我们在两棵主席树上分别查询区间中位数，然后随便维护一下就行了。

时间复杂度： $O(n\log\ n)$ 。

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define M 100005
 3 #define L long long
 4 #define INF (2e9)
 5 using namespace std;
 6 
 7 L n,q,A[M]={0},B[M]={0};
 8 
 9 L lc[M*70]={0},rc[M*70]={0},siz[M*70]={0},cnt=0; L sum[M*70]={0};
10 L root1[M]={0},root2[M]={0};
11 void add(L &x,L l,L r,L now){
12     cnt++; lc[cnt]=lc[x]; rc[cnt]=rc[x];
13     siz[cnt]=siz[x]+1; sum[cnt]=sum[x]+now; x=cnt;
14     if(l==r) return; L mid=(l+r)>>1;
15     if(now<=mid) add(lc[x],l,mid,now);
16     else add(rc[x],mid+1,r,now);
17 }
18 L getkth(L x,L y,L l,L r,L k){
19     if(l==r) return l;
20     L mid=(l+r)>>1;
21     if(siz[lc[y]]-siz[lc[x]]<k) return getkth(rc[x],rc[y],mid+1,r,k-(siz[lc[y]]-siz[lc[x]]));
22     return getkth(lc[x],lc[y],l,mid,k);
23 }
24 L getsum(L x,L l,L r,L ll,L rr){
25     if(ll<=l&&r<=rr) return sum[x];
26     L mid=(l+r)>>1,res=0;
27     if(ll<=mid) res+=getsum(lc[x],l,mid,ll,rr);
28     if(mid<rr) res+=getsum(rc[x],mid+1,r,ll,rr);
29     return res;
30 }
31     
32 main(){
33     scanf("%lld%lld",&n,&q);
34     for(L i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",A+i);
35     for(L i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",B+i);
36     for(L i=1;i<=n;i++){
37         L upd1=A[i]+B[i],upd2=A[i]-B[i];
38         root1[i]=root1[i-1]; root2[i]=root2[i-1];
39         add(root1[i],-INF,INF,upd1);
40         add(root2[i],-INF,INF,upd2);
41     }
42     while(q--){
43         L l,r,k,h;L res=0,mid; scanf("%lld%lld",&l,&r); 
44         h=(r-l)/2+1; mid=(l+r)>>1;
45         k=getkth(root1[l-1],root1[r],-INF,INF,h);
46         res+=getsum(root1[r],-INF,INF,k,INF)-getsum(root1[l-1],-INF,INF,k,INF);
47         res-=k*(r-mid+1);
48         res+=(mid-l)*k;
49         res-=getsum(root1[r],-INF,INF,-INF,k-1)-getsum(root1[l-1],-INF,INF,-INF,k-1);
50         
51         k=getkth(root2[l-1],root2[r],-INF,INF,h);
52         res+=getsum(root2[r],-INF,INF,k,INF)-getsum(root2[l-1],-INF,INF,k,INF);
53         res-=k*(r-mid+1);
54         res+=(mid-l)*k;
55         res-=getsum(root2[r],-INF,INF,-INF,k-1)-getsum(root2[l-1],-INF,INF,-INF,k-1);
56         
57         printf("%.2lf\n",0.5*res);
58     }
59 }