【xsy3423】党² 线段树+李超线段树or动态半平面交
本来并不打算出原创题的，此题集CF542A和sk的灵感而成，算个半原创吧。
题目大意：
给定有$n$个元素的集合$P$，其中第$i$个元素中包含$L_i,R_i,V_i$三个值。
给定另一个有$n$个元素的集合$Q$，其中第$i$个元素包含$A_i,B_i,C_i$三个值。
选择集合$P$中第$x$个元素和集合$Q$中第$y$个元素的收益为$(r-l+1)*V_x*C_y$，其中$[l,r]$为$[L_i,R_i]$和$[A_i,B_i]$的交集。你需要在集合$P$，$Q$中分别选出一个元素，使得收益最大
数据范围：
子任务一：满足$n≤5000$
子任务二：满足$V_i=1$。
子任务三：满足$L_i=A_i=1$。
子任务四：满足$n≤10^5$
对于全部数据，所有数$≤10^5$，且$L_i≤R_i,A_i≤B_i$。
子任务一：暴力
子任务二：该子任务为CF542A：
这里有一个题解，看情况三和情况四就行了
子任务三：
不难发现该情况下，对于任意的$i,j$必有$L_i≤A_j,B_j≤R_i$，或者$A_j≤L_i,R_i≤B_j$。
我们把$P$和$Q$中所有元素都丢入一个数组中按右端点排序，同时我们种一棵线段树。
若当前元素原先在$P$中，我们用$(R_i-L_i+1)\times V_i$更新第$L_i$个位置的值（取max）
否则，我们查询区间$[A_i,B_i]$中的最大值，将该值乘上$C_i$后更新答案。
不难发现此方法可以处理所有$Q_i$包含$P_j$的情况。
对于$P_i$包含$Q_j$的情况，我们交换下两个集合再处理一次就好了。
子任务四：
首先要处理一下$P_i$包含$Q_i$或者$Q_i$包含$P_i$的情况，直接用子任务三的方式处理一下就行了。
我们将$P$中第$i$个元素看成一个定义域在$[L_i,R_i]$间的函数，我们把这个函数写作$F_i(x)$。
不难发现$F_i(x)=V_ix-(L_i-1)\times V_i$。
为了方便接下来的表述，我们将$F_i(x)$更改为如下形式：
$F_i(x)=\begin{cases} V_ix-(L_i-1)\times V_i \ \ \ x\in[L_i,R_i] \\ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\notin[L_i,R_i]\end{cases}$
这是个分段函数
我们在$Q$中找出第y个元素$Q_y$，若存在$i$满足$A_y≤L_i$，则$Q_y$与$P_i$产生的收益为$C_y\times F_i(B_y)$。
最终答案显然为$max(C_y\times F_i(B_y))$。
按照子任务三的套路，我们把$P$和$Q$中所有元素都丢入一个数组中按左端点排序，维护一个保存函数的集合$S$
定义$S(x)=max_{F∈S}F(x)$
我们从大到小从数组中取出元素
若当前元素原先在$P$中，我们求出该元素对应的函数，并把它丢入$S$中。
否则，我们用$C_i\times S(B_i)$更新答案。
该做法复杂度显然是$O(nT_s)$，其中$T_s$表示求$S(x)$的复杂度。
我们不难想到$T_s=O(n)$的做法，但是不够优美。
我们考虑种一棵线段树，线段树的每个节点分别维护一个支持插入函数的半平面交。
如果我们要加入一个定义域在$[l,r]$的一次函数$f(x)$，就在线段树对应的区间上插入这个函数即可。
对于$S(x)$操作，我们只需要找出所有包含$x$的区间，在这些区间上的半平面交上求值即可。
单次插入的复杂度均摊为$O(log^2\ n)$ 单次查询的复杂度为$O(log^2\ n)$。
然而该方法只能处理出$Q_i$在$P_j$左边的情况。$Q_i$在$P_j$右边的情况我们交换一下两个集合再跑一遍就行了。
所以这是一道扫描线+线段树维护动态半平面的题目
总复杂度就是$O(n\ log^2\ n)$，空间复杂度$O(n\ log\ n)$。
完结撒花
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define M 100010 3 #define L long long 4 #define mid ((aa[x].l+aa[x].r)>>1) 5 #define S set<line>::iterator 6 using namespace std; 7 8 int n,N=0,up=0; L ans=0; 9 struct lr{ 10 int l,r,val; 11 void rd(){scanf("%d%d%d",&l,&r,&val); up=max(up,r);} 12 }a[M],b[M]; 13 void swapAB(){for(int i=1;i<=n;i++) swap(a[i],b[i]);} 14 struct ask{ 15 int id,isa; ask(){id=isa=0;} 16 ask(int ID,int ISa){id=ID; isa=ISa;} 17 friend bool operator <(ask A,ask B){ 18 int vala=A.isa?a[A.id].l:b[A.id].l; 19 int valb=B.isa?a[B.id].l:b[B.id].l; 20 if(vala!=valb) return vala<valb; 21 return A.isa>B.isa; 22 } 23 }p[M*2]; 24 25 namespace SolveContains{ 26 struct seg{int l,r;L maxn;}aa[1<<18]; 27 void build(int x,int l,int r){ 28 aa[x].l=l; aa[x].r=r; aa[x].maxn=0; if(l==r) return; 29 build(x<<1,l,mid); build(x<<1|1,mid+1,r); 30 } 31 void updata(int x,int k,L val){ 32 aa[x].maxn=max(aa[x].maxn,val); 33 if(aa[x].l==aa[x].r) return; 34 if(k<=mid) updata(x<<1,k,val); 35 else updata(x<<1|1,k,val); 36 } 37 L query(int x,int l,int r){ 38 if(l<=aa[x].l&&aa[x].r<=r) return aa[x].maxn; 39 L res=0; 40 if(l<=mid) res=max(res,query(x<<1,l,r)); 41 if(mid<r) res=max(res,query(x<<1|1,l,r)); 42 return res; 43 } 44 bool cmp(ask A,ask B){ 45 int vala=A.isa?a[A.id].r:b[A.id].r; 46 int valb=B.isa?a[B.id].r:b[B.id].r; 47 if(vala!=valb) return vala<valb; 48 return A.isa<B.isa; 49 } 50 void sub(){ 51 build(1,1,up); 52 N=0; for(int i=1;i<=n;i++) p[++N]=ask(i,1),p[++N]=ask(i,0); 53 sort(p+1,p+N+1,cmp); 54 for(int i=1;i<=N;i++){ 55 int id=p[i].id; 56 if(p[i].isa){ 57 L now=query(1,a[id].l,a[id].r); 58 ans=max(ans,now*a[id].val); 59 }else{ 60 L val=1LL*b[id].val*(b[id].r-b[id].l+1); 61 updata(1,b[id].l,val); 62 } 63 } 64 } 65 void solve(){sub();swapAB();sub();swapAB();} 66 } 67 68 void ReadData(){ 69 cin>>n; 70 for(int i=1;i<=n;i++) a[i].rd(); 71 for(int i=1;i<=n;i++) b[i].rd(); 72 } 73 74 struct line{ 75 L k,b; line(){k=b=0;} 76 line(L _k,L _b){b=_b; k=_k;} 77 L f(L x){return k*x+b;} 78 friend bool operator <(line a,line b){ 79 if(a.k==b.k) return a.b<b.b; 80 return a.k<b.k; 81 } 82 friend double operator *(line a,line b){ 83 return 1.*(b.b-a.b)/(a.k-b.k); 84 } 85 }; 86 bool under(line a,line b,line c){ 87 double x=a*b; 88 if(a.f(x)>=c.f(x)) return 1; 89 return 0; 90 } 91 struct plane{//半平面 92 set<line> s; 93 map<double,line> mp; 94 void clear(){ 95 s.clear(); mp.clear(); 96 s.insert(line(0,0)); 97 mp[-100]=line(0,0); 98 } 99 L f(int x){ 100 map<double,line>::iterator it=mp.upper_bound(x); it--; 101 line now=it->second; 102 return now.f(x); 103 } 104 void remove(S it){ 105 S nxt=it,pre=it; nxt++; pre--; 106 if(nxt!=s.end()){ 107 double l=(*it)*(*nxt); 108 mp.erase(mp.find(l)); 109 double x=(*nxt)*(*pre); 110 mp[x]=*nxt; 111 } 112 double r=(*it)*(*pre); 113 mp.erase(mp.find(r)); 114 s.erase(it); 115 } 116 void insert(line l){ 117 S nxt=s.upper_bound(l),pre=nxt; pre--; 118 if(nxt!=s.end()){ 119 double x=(*nxt)*(*pre); 120 mp.erase(mp.find(x)); 121 double r=l*(*nxt); 122 mp[r]=(*nxt); 123 } 124 double x=l*(*pre); 125 s.insert(l); mp[x]=l; 126 } 127 void add(line l){ 128 S it=s.upper_bound(l),nx=it,ls=it,hh; ls--; 129 if(it!=s.end()&&under(*it,*ls,l)) return; 130 for(nx++;it!=s.end()&&nx!=s.end();it=nx,nx++){ 131 double x=(*it)*(*nx); 132 line now=*it; 133 if(now.k==l.k) return; 134 if(l.f(x)>=now.f(x)) remove(it); 135 else break; 136 } 137 it=s.upper_bound(l); it--; ls=it; 138 for(ls--;it!=s.begin();){ 139 double x=(*it)*(*ls); 140 line now=(*it); 141 if(now.k==l.k||l.f(x)>=now.f(x)){ 142 hh=it; hh--; ls--; 143 remove(it); 144 it=hh; 145 } 146 else break; 147 } 148 insert(l); 149 } 150 }; 151 152 namespace seg{ 153 struct hhh{ 154 int l,r; plane p; 155 void insert(line now){return p.add(now);} 156 L f(L x){return p.f(x);} 157 }aa[1<<18]; 158 159 void build(int x,int l,int r){ 160 aa[x].l=l; aa[x].r=r; aa[x].p.clear(); 161 if(l==r) return; 162 build(x<<1,l,mid); build(x<<1|1,mid+1,r); 163 } 164 void updata(int x,int l,int r,line now){ 165 if(l<=aa[x].l&&aa[x].r<=r) return aa[x].insert(now); 166 if(l<=mid) updata(x<<1,l,r,now); 167 if(mid<r) updata(x<<1|1,l,r,now); 168 } 169 L query(int x,int k){ 170 L res=aa[x].f(k); 171 if(aa[x].l==aa[x].r) return res; 172 if(k<=mid) res=max(res,query(x<<1,k)); 173 else res=max(res,query(x<<1|1,k)); 174 return res; 175 } 176 } 177 178 namespace SolveOthers{ 179 void sub(){ 180 seg::build(1,1,up); 181 N=0; for(int i=1;i<=n;i++) p[++N]=ask(i,1),p[++N]=ask(i,0); 182 sort(p+1,p+N+1); 183 for(int i=N;i;i--){ 184 int id=p[i].id; 185 if(p[i].isa){ 186 L now=seg::query(1,a[id].r); 187 ans=max(ans,now*a[id].val); 188 }else{ 189 line hh=line(b[id].val,-1LL*b[id].val*(b[id].l-1)); 190 seg::updata(1,b[id].l,b[id].r,hh); 191 } 192 } 193 } 194 void solve(){sub();swapAB();sub();} 195 } 196 197 main(){ 198 ReadData(); 199 SolveContains::solve(); 200 SolveOthers::solve(); 201 cout<<ans<<endl; 202 }
