【NOI2013】快餐店 环套树+线段树

题目大意：给你一颗环套树，你要在这棵的边上（包括端点）找一个点，使得离该点最远的点最近。

数据范围：$n≤10^5$，边权$≤10^9$。

此题不难看出一种暴力做法，我们依次断开环上的一条边，然后求整颗树的直径，取个$min$就好了，时间复杂度是$O(n^2)$的。

然而显然会$T$，我们考虑一些优秀的做法，我们首先将环拆成链，将链倍长（通用套路），然后将环上的点重新编号一下，设环上点的个数为$m$。

如果我们去掉了这个环，原图会变成森林，对于森林中的每一棵树，我们都先求一下它的直径。

令$D_i$表示以环上第$i$个点为根的子树内，与$i$号点距离最大的点与$i$号点间的距离。

令$S_i$表示环上第$i$个点距离环上第一个点的距离（此处的i可以从$1$取到$2m$）。

那么，对于环上两点$(i,j)$，由$i$为根子树，$j$为根子树，还有i至j的链构成的树的直径为$D_i+D_j-S_i+S_j$。

移项后有$(D_i-S_i)+(D_j+S_j)$。

我们用线段树维护这个东西就可以了，（我的线段树写得有点挫，应该有更高效的编码方法）

#include<bits/stdc++.h>
#define M 200005
#define L long long
#define INF (1LL<<60)
#define mid ((a[x].l+a[x].r)/2)
using namespace std;

struct edge{L u,v,next;}e[M*2]={0}; L head[M]={0},use=0;
void add(L x,L y,L z){use++;e[use].u=y;e[use].v=z;e[use].next=head[x];head[x]=use;}

struct node{L l,r;L tag,tag2,mx,mx2,ans;}a[M<<2]={0};
void build(L x,L l,L r){
    a[x].l=l; a[x].r=r; a[x].ans=a[x].mx=a[x].mx2=-INF; if(l==r) return;
    build(x<<1,l,mid); build(x<<1|1,mid+1,r);
}
void upd(L x,L k){
    a[x].tag+=k; a[x].mx+=k;
    if(a[x].l!=a[x].r) a[x].ans=max(max(a[x<<1].mx+a[x<<1|1].mx2,a[x<<1].mx2+a[x<<1|1].mx),max(a[x<<1].ans,a[x<<1|1].ans));
}
void upd2(L x,L k){
    a[x].tag2+=k; a[x].mx2+=k;
    if(a[x].l!=a[x].r) a[x].ans=max(max(a[x<<1].mx+a[x<<1|1].mx2,a[x<<1].mx2+a[x<<1|1].mx),max(a[x<<1].ans,a[x<<1|1].ans));
}
void pushdown(L x){
    if(a[x].tag!=0) upd(x<<1,a[x].tag),upd(x<<1|1,a[x].tag); a[x].tag=0;
    if(a[x].tag2!=0) upd2(x<<1,a[x].tag2),upd2(x<<1|1,a[x].tag2); a[x].tag2=0;
}
void pushup(L x){
    a[x].mx=max(a[x<<1].mx,a[x<<1|1].mx);
    a[x].mx2=max(a[x<<1].mx2,a[x<<1|1].mx2);
    a[x].ans=max(max(a[x<<1].mx+a[x<<1|1].mx2,a[x<<1].mx2+a[x<<1|1].mx),max(a[x<<1].ans,a[x<<1|1].ans));
}
void updata(L x,L l,L r,L k){
    if(l<=a[x].l&&a[x].r<=r) return upd(x,k);
    pushdown(x);
    if(l<=mid) updata(x<<1,l,r,k);
    if(mid<r) updata(x<<1|1,l,r,k);
    pushup(x);
}
void updata(L x,L k,L val){
    if(a[x].l==a[x].r){a[x].tag=0; a[x].mx=val; return;}
    pushdown(x);
    if(k<=mid) updata(x<<1,k,val);
    else updata(x<<1|1,k,val);
    pushup(x);
}
void updata2(L x,L l,L r,L k){
    if(l<=a[x].l&&a[x].r<=r) return upd2(x,k);
    pushdown(x);
    if(l<=mid) updata2(x<<1,l,r,k);
    if(mid<r) updata2(x<<1|1,l,r,k);
    pushup(x);
}
void updata2(L x,L k,L val){
    if(a[x].l==a[x].r){a[x].tag2=0; a[x].mx2=val; return;}
    pushdown(x);
    if(k<=mid) updata2(x<<1,k,val);
    else updata2(x<<1|1,k,val);
    pushup(x);
}

L cir[M]={0},vis[M]={0},n,m=0; stack<int> st;
bool getcir(L x,L fa){
    if(vis[x]){
        for(L now=st.top();now!=x;st.pop(),now=st.top()){
            cir[++m]=now;
        }
        cir[++m]=x;
        return 1;
    }
    st.push(x); vis[x]=1;
    for(L i=head[x];i;i=e[i].next) if(e[i].u!=fa){
        if(getcir(e[i].u,x)) return 1;
    }
    st.pop();
    return 0;
}

void init(){
    scanf("%lld",&n);
    for(L i=1;i<=n;i++){
        L x,y,z; scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&z);
        add(x,y,z); add(y,x,z);
    }
}

L d[M]={0},s[M]={0},ans=0;
L dfs(L x,L fa){
    L max1=0,max2=0;
    for(L i=head[x];i;i=e[i].next) if(e[i].u!=fa){
        L k=dfs(e[i].u,x)+e[i].v;
        if(k>max1) max2=max1,max1=k;
        else if(k>max2) max2=k;
    }
    ans=max(ans,max1+max2);
    return max1;
}
void getmax(){
    for(L x=1;x<=m;x++) cir[x+m]=cir[x]; 
    cir[0]=cir[m]; cir[m*2+1]=cir[1];
    for(L x=1;x<=m;x++){
        L max1=0,max2=0;
        for(L i=head[cir[x]];i;i=e[i].next)
        if(e[i].u!=cir[x-1]&&e[i].u!=cir[x+1]){
            L k=dfs(e[i].u,cir[x])+e[i].v;
            if(k>max1) max2=max1,max1=k;
            else if(k>max2) max2=k;
        }
        ans=max(ans,max1+max2);
        d[x]=max1;
    }
    
    for(L x=1;x<=2*m;x++){
        L u=cir[x];
        for(L i=head[u];i;i=e[i].next) 
        if(e[i].u==cir[x+1]) s[x]=e[i].v;
    }
}

void work(){
    L minn=0,S=0;
    for(L i=1;i<=m;i++){
        S+=s[i-1];
        updata2(1,i,S+d[i]);
        minn=max(minn,a[1].ans);
        updata(1,i,d[i]-S);
    }
    for(L i=1;i<=m;i++){
        updata(1,1,m,s[i]);
        updata(1,i,-INF);
        updata2(1,1,m,-s[i]);
        updata2(1,i,-INF);
        S-=s[i]; 
        S+=s[i+m-1];
        updata2(1,i,S+d[i]);
        minn=min(minn,a[1].ans);
        updata(1,i,d[i]-S);
    }
    ans=max(ans,minn);
}

main(){
    init();
    getcir(1,0);
    build(1,1,m);
    getmax();
    work();
    double hh=ans; hh/=2;
    printf("%.1lf\n",hh);
}