【xsy2111】 【CODECHEF】Chef and Churus 分块+树状数组

题目大意：给你一个长度为$n$的数列$a_i$，定义$f_i=\sum_{j=l_i}^{r_i} num_j$。

有$m$个操作：

操作1：询问一个区间$l,r$请你求出$\sum_{i=l}^{r} f_i$。

操作2：将$a_x$变成$y$。

 

此题貌似正常做都不是很好做，考虑用一些奇奇怪怪的做法（比如说分块）

考虑到此题数列在不断地变化，我们考虑用树状数组来维护序列$a$，查询$f_i$的值可以在$O(log n)$的时间内完成。

如果这么做，单次询问的复杂度是$O(n log n)$的，显然不行。

 

我们令第$k$块中包含有函数$f(kN),f(kN+1).......f(kN+(N-1))$。其中$N$是一个常数

设$sum[i][j]$表示第i块中所有函数中数字$a_j$出现的次数。

设$ans[i]$表示第i块所有函数之和。

显然$ans[i]=\sum_{j=1}^{n} sum[i][j]\times num[j]$。

 

对于一个询问的区间，我们显然可以将其拆成尽可能多的块+不超过$2N$个单点；

对于每个块的块的和，我们显然可以在$O(1)$的复杂度内完成求值。

对于单点部分，我们直接查询就可以了。

 

对于修改操作；

首先我们更新树状数组，然后根据$sum[i][X]$的值来更新$ans[i]$即可，时间复杂度是$O(log\ n+\sqrt{n})$。

 

总时间复杂度为$O(n^{1.5}\ log\  n)$

这次的分块应该是编码效率最高的一次了

#include<bits/stdc++.h>
#define M 100005
#define N 360
#define lowbit(x) ((x)&(-(x)))
#define L unsigned long long
int n,m,l[M]={0},r[M]={0};
int sum[320][M]={0},num[M]={0},bel[M]={0};
L ans[M]={0},a[M]={0};
void add(int x,int k){for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) a[i]+=k;}
L Q(int x){L k=0; for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) k+=a[i]; return k;}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) bel[i]=(i+N-1)/N;
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",num+i),add(i,num[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d%d",l+i,r+i);
        ans[bel[i]]+=Q(r[i])-Q(l[i]-1);
        sum[bel[i]][l[i]]++; sum[bel[i]][r[i]+1]--;
    }
    for(int x=1;x<=bel[n];x++)
        for(int i=1;i<=n;i++) sum[x][i]+=sum[x][i-1];
    scanf("%d",&m);
    while(m--){
        int op,X,Y;L res=0; scanf("%d%d%d",&op,&X,&Y);
        if(op==1){
            for(int x=1;x<=bel[n];x++)
            ans[x]+=1LL*sum[x][X]*(Y-num[X]);
            add(X,Y-num[X]); num[X]=Y;
        }else{
            if(bel[X]==bel[Y]){
                for(int i=X;i<=Y;i++) res+=Q(r[i])-Q(l[i]-1);
                printf("%llu\n",res);
                continue;
            }
            for(int x=bel[X]+1;x<bel[Y];x++) res+=ans[x];
            for(int i=X;bel[X]==bel[i];i++) res+=Q(r[i])-Q(l[i]-1);
            for(int i=Y;bel[Y]==bel[i];i--) res+=Q(r[i])-Q(l[i]-1);
            printf("%llu\n",res);
        }
    }
}