【xsy1116】数学题 奥数题

真实奥数题

题目大意：给你正整数k$,r$。问你存在多少对$(x,y)$，满足$x<y$且$x^2+y^2=kz^2$，并将所有符合条件的数对输出。

数据范围：$r≤1e9$，$k={1,2,3}$。

 

我们先考虑$k=1$的情况，显然就是一个求勾股数对数的问。有一种经典的枚举所有$x^2+y^2=z^2$且$(x,y,z)=1$的勾股数对数的式子：

$\begin{cases} x=2nm\\ y=n^2-m^2 \\ z=n^2+m^2 \end{cases}$

证明的话，展开下式子算算就好

我们只需要暴力枚举r的因数进行计算就可以了，时间复杂度$O(r^{\frac{1.066}{\ln\ln\ n}+0.5})$（这个式子是抄来的，证明本蒟蒻不懂，反正是能过的qwq）。

 

考虑$k=2$的情况，我们参考处理$k=1$的情况，列一组式子，可以枚举所有$x^2+y^2=2z^2$且$(x,y,z)=1$的式子：

$\begin{cases} x=n-m\\ y=n+m \\ z=\sqrt{n^2+m^2} \end{cases}$

证明同上

我们不难发现，这时候求解的关键变为了求$z^2=n^2+m^2$的对数（并将所有方案打出），这不就是第一问吗$qwq$。

我们只需要求出所有的$(n,m)$数对后，简单转化一波就可以了。

 

考虑k=3的情况，抱歉这个是无解的qwq

#include<bits/stdc++.h>
#define L long long
#define M 10000005
using namespace std;

pair<L,L> p[M]; int cnt=0;

int solve(L z,L bei){
    int res=0;
    for(L n=1;n*n<=z;n++){
        L m=sqrt(z-n*n),x=0,y=0;
        if(m*m+n*n!=z) continue;
        x=2*n*m;
        y=n*n-m*m;
        if(x==y) continue;
        if(x>y) swap(x,y);
        if(x<=0) continue;
        p[++cnt]=make_pair(x*bei,y*bei);
        res++;
    }
    return res;
}

int main(){
    int cas; cin>>cas;
    while(cas--){
        L k,z,ans=0; cin>>k>>z; cnt=0;
        if(k==3) {printf("0\n"); continue;}
        for(L i=1;i*i<=z;i++) if(z%i==0){
            ans+=solve(i,z/i);
            if(i*i!=z) ans+=solve(z/i,i);
        }
        sort(p+1,p+cnt+1);
        cnt=unique(p+1,p+cnt+1)-p-1;
        if(k==2){
            for(int i=1;i<=cnt;i++){
                p[i]=make_pair(p[i].second-p[i].first,p[i].second+p[i].first);
            }
            sort(p+1,p+cnt+1);
            cnt=unique(p+1,p+cnt+1)-p-1;
        }
        printf("%d\n",cnt);
        for(int i=1;i<=cnt;i++) printf("%d %d\n",p[i].first,p[i].second);

    }
}