图形学-几何-曲线-贝塞尔曲线

在空间中，曲线有重要的作用，例如可以在空间中定义一条曲线，摄像机或者物体沿着曲线运动；另外字体可以用曲线来表示，也成矢量，这样字体无论拉多大都不会出现锯齿。

 

 

 

   

 

 

 做一条曲线的方法，比较广为人知的是贝塞尔曲线，在PS之类的软件经常用到。

 贝塞尔曲线的表示方法

贝塞尔认为，用N个点（N≥3），可以表示一条唯一的曲线。下图表示用4个点表示一条曲线：

 

表示的规则为：

1.出发方向一定为P0->P1；

2.结束方向一定为P2->P3；

3.有一个点，按照上面规定的方向，随着时间t不断行走，从起点走到终点，走过的路径即为贝塞尔曲线。

也可以理解为，有无数个连续的点，每个点随着时间t有一个对应的坐标，这些坐标的集合即这条贝塞尔曲线。

因此计算贝塞尔曲线，相当于是求出一个公式，这个公式即P0-P3每个点与t的关系。

贝尔塞曲线的表示方法

下图表示一条3个点确定的贝尔塞曲线的表示方法：

 

 

 

1.在b0->b1，b1->b2两条直线上，都分别计算出一个点，这个点根据t值插值表示，如在b0->b1上表示为(1 − t)b0 + tb1；

 

 

 

2.得到的这2个点，连成1条线，再根据t值做插值。得到的这个点，即认为是在t时刻曲线上的一点。

 

 

 

3.用这样的方法，只要t在[0, 1]上过一遍，即可得到曲线上所有的点。

 

 

 类似的，这是4个点的贝塞尔曲线。

点随着t的变化，可以用公式表示为

 

 

我们发现这个公式就是一个多项式展开式，每一项即为每个点与t的关系。如有3点，为有3个系数，分别与b0、b1、b2相乘，再相加。而系数就是多项式系数

，也记为

 

类似的，如果有4个点，则肯定是4项相加（在二维或三维上通用），表示为

 

 

我们称这个多项式系数为“伯恩斯坦多项式”

 

 从上图可以看到，伯恩斯坦多项式每一项的系数加起来等于1。说明伯恩斯坦多项式实际上做的事情是权重（点到t的距离）插值计算。

 

 

 用伯恩斯坦多项式的系数乘每个点，即得到N阶贝塞尔曲线的表达公式：

 

 

 

贝塞尔曲线的一些性质（以3个点为例）：

 

1.曲线一定经过b0和b3；

2.起始点的切线长度是3倍的(b1-b0)，终点的切线长度是3倍的(b3-b2)；

3.仿射变换后的曲线，等于N个点先做仿射变换再连起来的曲线；

4.N个点做出的贝塞尔曲线，一定在由这几个点围城的凸包内。

 

 凸包性质可以用来判断，如果几个点做出的贝尔塞曲线是一条直线，那这几个点一定在一条直线上。