（三维空间）核心变换：MVP

图形渲染的两个重要过程是变换和着色。

整个过程可以理解为画一张肖像画，变换 = 模特摆pose +画家调整远近和观测角度，着色 = 在（大大小小不同的）画纸上勾勒出轮廓 + 上颜色。

可以发现，前面部分变换总是处理三维空间相关的问题，后面部分着色则总是处理二维平面相关的问题。两者衔接的过程，需要把三维的数据映射到二维屏幕，叫做视口变换。

虽然叫“视口变换”，但处理的是屏幕相关的问题，跟物体平移、旋转、缩放这些核心的变换没有关系。核心的变换包括模型变换M、视图变换V、投影变换P，统称MVP。也叫观测变换Vewing。

模型变换，即物体本身的平移、旋转、缩放。

视图变换，即转动摄像机观测物体。

投影变换，即展现物体的方式，有两种。第一种：人眼看物体，离得越远显得越小，最后会交汇与远处的一个消失点，叫透视投影；第二种，设计图上画的物体远近都是一样大的，叫正交投影。

我们知道变换的数学方法是矩阵乘法，平移、旋转、缩放的矩阵分别长啥样请看：《几种基本矩阵变换的推导过程》

我们发现，在三维空间中，平移和缩放两种矩可以叠在一起，并不冲突

 

 

 而旋转矩阵则被抛弃了，要单独凉一边。

 

我们可以把三维空间中的任何旋转分解成各自3个平面上的旋转，分别是绕x轴旋转、绕y轴旋转、绕z轴旋转，而这三兄弟的矩阵居然不是完全一样的：

 

 

 

可以看到，在右手定则中，绕x轴或z轴旋转，矩阵都是(cosα -sinα，sinα cosα)，绕y轴旋转却是(cosα sinα，-sinα cosα)。

究其原因，是因为右手定则的z方向，是由x向y指向得到的，即x-y->z，y-z->x，z-x->y。

而从图中可以看到，绕y轴旋转，实际上是x-z，跟z-x相反，所以表示方法跟其他两兄弟不一样。

 

那么，有没有一个公式是给出任意角度，直接应用就可以得到新的向量/点？ 

有的，叫“罗格里格斯旋转公式” ，可以计算出，绕任意方向的轴n旋转α度后的结果（轴n过原点）：

 

注意了，旋转一定是绕着坐标轴原点(0, 0, 0)的，如果要做绕着物体中心的旋转变换，要拆解成3步：把物体中点平移到原点，做旋转变换，再逆向移回原位置。

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现在我们来看视图变换的整个过程。

首先，先“摆正”摄像机的位置，这样就能减少一个变量因素。摆正的过程，是把摄像机从任意位置任意朝向->>>>放到原点位置 + 顶朝+y方向 + 看向-z方向

 

如图所示，摆好摄像机  = e点平移到原点 + g方向旋转到-z方向 + t方向旋转到y方向 + (g * t )旋转到x方向。

e点平移到原点，这个很好写，只要平移(-ex, -ey, -ez)即可。

而后面的三个旋转，则非常不好写，如果按常规的操作，每一个旋转都要先找到旋转轴，再应用一次上面提到的“罗格里格斯旋转公式”，复杂程度可想而知。

不过我们只要逆向思维，问题就迎刃而解：任意轴旋转到标准轴，其实就是标准轴旋转到任意轴的逆变换，也就是说，我们只要求出标准轴旋转到任意轴的变换矩阵，求它的逆，就可以得到任意轴旋转到标准轴的变换矩阵。而从标准轴旋转到任意轴，不就是分别乘3次(cosα -sinα，sinα cosα)嘛！同时，对于所有的正交矩阵，逆变换 = 转置。旋转矩阵是正交矩阵，求它的逆变换就是只需要转置一下它即可。

 

 至此，相机已经摆正，可以进行下一步。

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我们知道，在实际生活中，一个物体同样的大小同样的位置，我们用不同的方式去描述它，就会呈现不同的结果，比如设计图和素描图。

不管是平行投影还是透视投影，最终都是要显示在屏幕上的，因此我们必须要做的一个步骤，是把摄像机所看到的范围映射到屏幕上。

既然屏幕是方的，而且每种屏幕的大小各不一样，于是我们这么做：

1.虚拟建立一个2*2*2的规范化正方体；

2.虚拟建立一个长方体，以表示摄像机覆盖的范围；

3.把长方体里模型的点均匀挤压到规范正方体内；

4.最后，把规范化正方体里的点映射到不同大小的屏幕上。

 

 

 

正交投影 

 

 

人的眼睛看向远方，看到远平面的物体和近平面的一样大，并没有缩小，即正交投影。

正交投影“把长方体里模型的点均匀挤压到规范正方体内”的方法很简单，想象一个任意大小的长方体压成2*2*2的正方体，就是把长方体的长宽高分别缩成2，即
x` = x / w *2 = (2 / (r - l)) * x  , l表示left，r表示right

y` = y / h * 2 = (2 / (t - b)) * y , t表示top，b表示bottom

z` = z / d * 2 = (2 / (f - n)) * z , f表示far，n表示near

注意，如果这个长方体的中心不是在原点，需要先平移到原点，再做缩放。

 

 

 透视投影

 

 

 

 

人的眼睛看向远方，远平面的物体缩小到近平面里，即透视投影。

透视投影变换要做2步：

1.把透视空间中的锥体Frustum压成正交空间的长方体Cuboid；

2.做一次正交投影。

 

 

第2步我们已经会了，现在我们来求锥体Frustum压成长方体Cuboid的矩阵。

我们称它为矩阵M。锥体Frustum上任意平面上的任意点，乘M后都会得到，对应在长方体Cuboid上的一个点。

求解的过程分几步走：

【第一步】我们通过观察发现，在所有平面，x和y值都跟z有直接关系，可以用相似三角形求出，x` = (n/z)x, y` = (n/z)y

 

由此可知，经过变换后的点为

 

在其次坐标中，我们可以把变换后的点的每一个值都乘以z，表示的是同一个点：

 

 

根据矩阵乘法，知道M一定长这样：

 

 【第二步】我们知道，在近平面上，所有的点变换以后都等于它本身，我们可以利用这个特殊情况，把n代入z，并再次利用齐次坐标的特性，让变换后的点的每一项都乘以n，可得：

 

现在我们只关注红色框的部分：n通过矩阵乘法得到n²，即 ?x + ?y + ?n + ?1 = n²，可知前面2个？都一定等于0

 

 

 就剩 A 和 B 的值未知了。

 【第三步】

 对于近平面上的任何点，可推出：

 

 现在再找一个特殊点，即远平面的中心点，它的x和y都等于0，z等于f，可推出：

 

 根据红框中的两个公式，可求出

 

 最终，我们求出了这个“挤压”的矩阵

 

 用它乘正交投影矩阵，即得到透视投影的矩阵变换。

 

注意！！！在整个求解过程中，前面所说可用相似三角形求出不同平面的x和y值，并没有说可以用同样的方法求出z值。

近平面上点的z值等于n，远平面上点的z值等于f，但其他平面上的点的z值跟z并不是直接的相似关系！

也就是说，近平面和远平面正中间的平面，挤压以后，点的z值并不是等于(zf + nf) / 2

这又是一个跟直观上有出入的结论。而结果等于多少，用“挤压”公式算一遍就知道了。