图形学中的矩阵是什么，为什么长得这么奇怪？

首先讲讲图形学为什么需要用到矩阵。
首先，图形学/渲染要做的事情，概括起来无非两点：变换和上色。
这里只说变换。
一句话解释变换，就是一个模型，经过各种旋转、移动、扭曲、拉伸、缩放....后，还能“正确”的显示在屏幕上。
展开来说，变换包括：1模型变换、2视图变换、3投影变换、4视口变换。
1.模型变换：模型上的各个顶点，从局部坐标变成世界坐标；
2.观测变换：把摄像机规范到标准位置，同时模型也跟着摄像机一起转化，这里包含模型变换model+视图变换view，合起来叫观测变换viewing；
3.投影变换：我们想如何看这个模型，是以设计图的形式看（平行投影），还是以近大远小的形式看（透视投影）；
4.视口变换：把经过投影变换后的点线面，映射到大大小小不同尺寸的屏幕上。

 

 

 

一句话，变换非常复杂。
那怎么办呢？
有人绝妙的想到，变换归根结底，不就是拿着模型在空间中扭一扭，转一转吗？
空间，我们可以用直角坐标系表示呀！
扭一扭、转一转，我们可以用平移、缩放、旋转的组合表示呀！
于是，变换的问题，成功的换成，如何在3维直角坐标系(xyz)中平移、缩放、旋转的问题。
换句话说，变换就是如何调整xyz的值，使图像达到平移、缩放、旋转的效果。

这有几张图，看看平移、缩放、旋转在直角坐标系上，xyz值到底是怎样改变的（以2维xy值为例）。

 

 

 

 

平移后的点可以表示为

x` = x+tx
y` = x+ty

旋转后的点可以表示为
x` = cosθx - sinθy
y` = sinθx + cosθy
缩放后的点可以表示为
x` = sx
y` = xy

 

我们惊讶的发现，改变后的点x`y`，总是可以用原来的xy和一些常量（t、θ）的组合来表示。
于是我们把这些常量（t、θ）抽离出来，形成一个数字组合，以便让所有的点xy，跟这个数字组合结合以后，都能变换成新的点。
这个数字组合就是矩阵。
回答最开始的问题，为什么需要矩阵？因为
1.模型可以拆分成点，点可以做变换；
2.变换很复杂，我们转换为在直角坐标中平移、缩放、旋转，就比较容易；
3.我们可以用一个数字组合，就可以表示所有的平移、缩放、旋转。
也就是说，用矩阵，是最简单有效的变换方式。

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说完了图形学为什么需要矩阵，我们再来说说，为什么矩阵长得这么奇怪？
这个数字组合，有个高深的名字，叫做行列式，搞得好像古代的兵阵，实在让人看不懂。
并且，矩阵乘矩阵，确实非常难以理解，行和列的元素交叉相乘再相加，它所表示的意义何在？
解释起来可能有点哲学，我从道和术两个方面来阐述。
道的层面，只因为人是懒的，期望一劳永逸。举个例子，你看到一部手提电脑或手机，会惊叹它为何如何小巧而功能强大，拆开后发现是因为芯片做得非常复杂。
里面做的复杂了，外面看起来就简介了。
其实，芯片完全可以做得非常大，大得像一个屋子，一眼就能看到内部的所有零件（早期计算机就是如此）。
同理，数字组合，可以写得非常长，长得一眼就能看懂所有的计算过程。
但是人说了，不要！我人类是追求简洁的，我要把平移/旋转/缩放看起来不同的表示方法，合成一个表示方法！
于是矩阵这种方方正正的形式就诞生了，虽然很复杂，但功能很强大，而且看起来挺简洁。
术的层面，我们看在二维上旋转的表示方法，发现x在变换后，不仅跟x有关系，还跟y有关系；在三维中，x的值变换后，不仅跟x有关系，还跟y、z有关系。
如何才能做到？只需要一种这样的表示形式：

 

让数字组合的每一行，都跟右边的x、y、z分别乘一遍，不就都有关系了么？

现在可以回答，矩阵乘法为什么是“行和列的元素交叉相乘再相加”？归根到底是因为人是“懒”的，需要一种看起来一致的简洁形式，于是造出了行列式。
因此，本质上，它不应该被称为“乘法”，更应该被称为“矩阵变换法”。
它除了具有乘法的交换律，好像跟乘法没太多关系。矩阵乘法实际上是乘法、加法和三角函数组合而成的复合运算。

实际上，我们觉得直观的东西，基本是一些不证自明的、大自然中能观察到的东西。
而矩阵它...

也许这就是为什么矩阵及其乘法看起来这么奇怪的原因。