动态规划专题
前言
太恐怖了，今天一复习动态规划，才发现我什么都不会，0/1背包都打不出来，还学什么斜率优化DP，四边形不等式DP，学个喘喘，so scary，到头来发现自己是小白，啥都不会啊！！！
所以，没有时间在等了，必须立刻安排复习
0/1 背包问题
http://oi.cdshishi.net/p/A1031
题目大意
有 \(n\) 个物体，背包大小为 \(m\)，每个物体有一个大小 \(w[i]\)，有一个价值 \(c[i]\)，现在求背包里能装下的最大价值。
做题思路
动态规划数组 \(f[ i ][ j ]\) 表示装了 \(i\) 个物品，背包大小为 \(j\) 时的最大价值。
考虑如何转移：
即比较不装第 \(i\) 个物品和装第 \(i\) 个物品哪个贡献大，如果当前背包空间小于 \(w[i]\) （也就是装不下这个物品）那就不装。
最后答案在 \(f[n][m]\) 里面。
AC 代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,f[2000][2000];
int w[2000],c[2000];
int main(){
scanf("%d%d",&m,&n);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d%d",&w[i],&c[i]);
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
if(j>=w[i]){
f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+c[i]);
}
else f[i][j]=f[i-1][j];
}
}
printf("%d",f[n][m]);
return 0;
}
完全背包
在前行中认可自己，证明自己！
题目大意
相比于0/1背包只能选一个物体，完全背包的区别是每个物体有无数多个，给定背包大小，问能装下的最大价值。
做题思路
瞎做法： 开始自己沿着0/1背包的思路乱写了一个，没想到竟然A了，但空间和时间复杂度都没有正解优，时间复杂度应该是 \(O(nm^2)\),无奈这题 \(n,m\) 都只有200，所以过了，
正解思路： 只需要在0/1背包的代码上改动一个地方即可，即转移时如果选当前物体，还是从选到了 \(i\) 的这一当前层迭代，这样就达到了同一个物体选多次的目的了。
我只能说动态规划太奇妙，你可以盯着它的转移方程式半个小时也证不出它是正确的。（哭：
瞎搞核心代码：
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int k=1;k*w[i]<=m;k++){
++cnt;
for(int j=1;j<=m;j++){
if(j>=w[i]){
f[cnt][j]=max(f[cnt-1][j],f[cnt-1][j-w[i]]+c[i]);
}
else f[cnt][j]=f[cnt-1][j];
ans=max(ans,f[cnt][j]);
}
}
}
正解代码：
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
if(w[i]<=j){
f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-w[i]]+c[i]);
}
else f[i][j]=f[i-1][j];
}
}
多重背包
题目大意
与上面不同的是，这次物品数量既不是一个，又不是无穷个，而是给定个。
做题思路
完了，什么玩意儿！啥啥二进制优化，让我好好研究一下。
好的，研究完了，十分的简单，就是把个数拆解成 \(1,2,4,8,16,32,64.....\) 的二进制倍数，这样任意组合即可组合出 \([1,x]\) 中的任意数，剩下的按0/1背包做就行。
核心代码：
for(int j=1;j<=n;j++){
int wi,ci,x;
scanf("%d%d%d",&wi,&ci,&x);
for(int i=1;i<=x;i=(i<<1)){
x-=i;
w[++cnt]=i*wi;
c[cnt]=i*ci;
}
if(x){
w[++cnt]=x*wi;
c[cnt]=x*ci;
}
}
for(int i=1;i<=cnt;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
if(w[i]<=j){
f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+c[i]);
}
else{
f[i][j]=f[i-1][j];
}
}
}
printf("%d",f[cnt][m]);
背包问题到这里就基本结束了，是时候开始下一个专题了。
到时候补充一下把空间优化到一维的方法。
