划分树应用——HDU 4417 Super Mario——python3实现
题目来自于HDU 4417。划分树的代码及原理请看我写的这篇博客划分树详解。
题目重述
【问题描述】：超级马里奥是世界著名水管工，可是他的公主被老板抓住了，所以马里奥就要去老板的城堡救他的公主。把到城堡的路线看成一条直线（长度为n），在每个整数点i，有一块高度为h的砖。现在的问题是，如果马里奥能跳的最大高度为h，那么在[left,right]区间里，马里奥有多少块砖能跳上去。
【输入】：
第一行给出两个整数n，m (1 <= n <=10^5, 1 <= m <= 10^5)，n是路的长度，m是查询次数
下一行给出n个整数，表示在i位置上的砖的高度。
接下来的m行，每行给出3个整数left、right、h。
【输出】：
有m行，每行只有一个数，代表第m查询马里奥能跳上去的砖的个数。
【样例输入输出】：
试题分析
采用二分查找+划分树可解决。若马里奥能够跳过高度为x的砖头，那么所有高度不大于x的砖头都能够跳过。这就凸显出问题的单调性，使得二分查找可以解决。
【1】比如[left,right]的长度为5，那么[left,right]排序后的数组，是由[left,right].1(代表第1大的值，即排升序后第1个数)，[left,right].2，[left,right].3，[left,right].4，[left,right].5。
【2】 因为已经有了划分树这个工具，所以[left,right].k只要调用一次划分树的查询query函数就可以直接得到。
【3】进行二分，(left+right)/2作为mid_index，mid_index与left间有3个数，那么就查询[left,right].3
【4】如果h>=[left,right].3，说明马里奥现在至少有3块砖能够跳过，因为[left,right].3是第3大的数
【5】left更新为left+3，right不变。继续二分，(left+right)/2作为mid_index，mid_index与left间有1个数（此时mid_index等于left），上一次查了第3大，现在就查3+1大的数left,right].4
【6】如果h>=[left,right].4，说明马里奥现在至少有4块砖能够跳过，因为[left,right].4是第4大的数
【7】left更新为left+1（4+1，这个1是指第5步中mid_index与left间有1个数），right不变（此时left已变成最大索引right）。继续二分，(left+right)/2作为mid_index，mid_index与left间有1个数（此时mid_index等于left等于right即最大索引）。上次查了第4大，现在就查4+1的数left,right].5
【8】如果h>=[left,right].5，说明马里奥现在至少有5块砖能够跳过，因为[left,right].5是第5大的数。否则，说明马里奥只能跳过4个砖。
当然，如果第4步中，h<[left,right].3，说明现在马里奥能跳的高度，是小于第3大的数的。此时就应该减小搜索区间，再看看[left,right].2和[left,right].1的大小。
【形式化说明】：给定[s,t]区间，得到[s,t]的长度n，每次查询第n/2大的数。如果高度h大于等于这个数，说明mario至少能跳n/2个数；如果小于，那么便缩小搜索区间，继续寻找。
代码实现
num = [0,5,2,7,5,4,3,8,7,7]#条件
tree = []#二维列表，作为返回值
sort = []#中间变量，是每一个节点的内的元素的排序
toleft = []#二维列表，作为返回值
def build(left,right,dep):
if(left==right):#递归终点
return
if(dep==0):#第一次递归
tree.append(num)
toleft.append([False]*len(num))
else:#不是第一次，当前层的tree不用建了，但toleft得建
if(len(toleft)==(dep)):
toleft.append([False]*len(num))
sort = tree[dep][left:right+1]
sort.sort()#此处可能还能优化
temp_mid = (len(sort)-1)//2
sort_mid = sort[temp_mid]
mid = (left+right)//2
same = mid-left+1#现在是左子区间的长度
for i in range(left,right+1):
if(tree[dep][i] < sort_mid):
same-=1#执行完此循环，便得到左子区间中，sort[mid]的个数
lpos = left
rpos = mid+1
count = 0
#接下来要为下一层建树，但tree[dep+1]这个list还没有建立，需要每次建立
if(len(tree)==(dep+1)):
tree.append([False]*len(num))
for i in range(left,right+1):#tree的i，索引从0开始
if(tree[dep][i] < sort_mid):
tree[dep+1][lpos]=tree[dep][i]
lpos+=1
count+=1
elif( (tree[dep][i] == sort_mid) and (same > 0) ):
tree[dep+1][lpos]=tree[dep][i]
lpos+=1
same-=1
count+=1
else:
tree[dep+1][rpos]=tree[dep][i]
rpos+=1
#上面每次把一个数加入到子区间内
toleft[dep][i] = count
build(left,mid,dep+1)
build(mid+1,right,dep+1)
build(0,len(num)-1,0)
for i in tree:
print(i)
print()
for i in toleft:
print(i)
print()
def get_ant(toleft,L,R,left,right):
#L>=left right<=R，这是已经成立的
interval_left = 0#在[L,left-1]中进入到左子区间的数的个数
interval_current = 0
if(L<left):#此时在[left,right]的左边，会有一个左边区间
interval_left = toleft[left-1]
elif(L==left):#此时在[left,right]的左边，根本没有左边区间
interval_left = 0
interval_current = toleft[right]
return (interval_current - interval_left,interval_left)
#第二个值，当接下来递归到左子区间时，能用上
def query(L,R,left,right,dep,k):
if(left==right):
return tree[dep][left]
mid = (L+R)//2
cnt = get_ant(toleft[dep],L,R,left,right)
#newl,newr是接下来要分析的left,right
if(cnt[0]>=k):
newl=L+cnt[1]
newr=newl+cnt[0]-1
return query(L,mid,newl,newr,dep+1,k)
else:
offset = (R-right) - (toleft[dep][R] - toleft[dep][right])
newr = R - offset
temp = right-left+1-cnt[0]
newl = newr - temp + 1
return query(mid+1,R,newl,newr,dep+1,k-cnt[0])
def solve(n,s,t,h):
ans = 0
left = s
right = t
mid_index = (s+t)//2
mid_length = mid_index-s+1
#代表[left,right]区间长度的一半，一定是从这个初始值加减,也代表将要查询的第k大值
while(left<=right):
#print(left,right)
temp = query(0,n,s,t,0,mid_length)
if(h>=temp):
ans = mid_length
if(left==right):#终点，但必须在ans赋值之后
break
left = mid_index+1
else:
if(left==right):#终点
break
right = mid_index
mid_index = (left+right)//2 #取区间中间索引
mid_length = mid_index-s+1 #取区间长度的一半
return ans
print(solve(len(num)-1,2,8,6))
print(solve(len(num)-1,3,5,0))
print(solve(len(num)-1,1,3,1))
print(solve(len(num)-1,1,9,4))
print(solve(len(num)-1,0,1,0))
print(solve(len(num)-1,3,5,5))
print(solve(len(num)-1,5,5,1))
print(solve(len(num)-1,4,6,3))
print(solve(len(num)-1,1,5,7))
print(solve(len(num)-1,5,7,3))运行结果：
solve函数是为解决此题的主函数，而之前的函数都是为了建树和建查询函数，来自划分树详解。第一大段是tree二维数组，第二大段是toleft二维数组，第三大段是10次查询对应的结果，与预期的输出相同。
思考与总结
划分树在此题中，只是一个工具，用来查询[left,right].k即第k大值。递归的过程是和线段树，划分树一样的二分过程。
【1】在solve函数中的while循环里，其实每次left和right其实是代表把不确定大小的数，锁定在[left,right]中。第一次循环时锁定在第1大数和第right-left+1大数中，因为第一次什么信息都不知道呢；
【2】在试题分析中第5,6步中，不确定大小的数就只在第4大到第5大的数中了；
【3】在试题分析中第7,8步中，不确定大小的数就只在第5大的数中了。
