度小满2018.9.26笔试 链式边权

题目描述

n个点，有n-1条边，每条边的权值被这样计算：
在边左面的点称为x，在边右面的点称为y。x≠y。有多少这样的点对，那么这条边的权值就为多少。
提示：
第一条边能形成一个点对(1,2)
第二条边能形成一个点对(2,1)
所以，输出为1 1

动态规划

#include <pch.h>//vs2017建控制台程序自带的预编译头文件
#include <stdio.h>
#include <vector>
#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
	int n;
	cin >> n;

	vector<int> a(n), w(n);//w存边的权值
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		scanf_s("%d", &a[i]);
	}

	for (int i = 0; i < n - 1; i++) {

		for (int j = i + 1; j < n; j++) {
			if (a[j] != a[i]) {
				w[i]++;
				w[j]--;
			}
		}
		if (i != 0) {
			w[i] = w[i] + w[i - 1];
		}

		printf("%d ", w[i]);
	}

	return 0;
}

重点解释一下，内层循环里面的加加和减减吧，还有w[i] = w[i] + w[i - 1];，这句一看就是很像是动态轨迹里面的递推式。
以一个实际例子讲解吧：
输入：
4
1 2 3 4
输出：
3 4 3

初始时：

执行完第一次外层循环后：

就得到了第一条边的权值，权值为3的含义是有这三个点对。剩下三个点的权值都为-1，假如1称为已经记录的点，那么这个-1就代表当前点与已记录点之间能形成多少点对，比如2这个点与已记录点1之间能形成一个点对(1,2)，所以2点在当前的权值为-1。（注意这里以及之后的“权值”不是指原题中指的权值）

执行完第二次外层循环后：

就得到了第二条边的权值，权值为4的含义是有这四个点对。首先这个2很好理解，从当前点2往后遍历，发现有两个点对(2,3)(2,4)。但是1和边右面的点还没有统计，但是也不需要统计，因为这个信息肯定包括在之前记录的点1的权值里面即(1,2)(1,3)(1,4)，但是由于(1,2)不应该包括进来，所以这时候之前在点2记录的权值-1即(1,2)就派上了用场，这样，(3-1)就得2即(1,3)(1,4)。

第三次外层循环也是一个道理。

总结一下：
1.第i次循环结束后，第i条边的权值会被记录。也称0 - i的点们已经被记录，因为0 - i的点们和i+1 - n-1的点们之间能形成的点对数量已经被w[i]所记录，也就是题意的意思。

2.第i次循环结束后，从i+1 - n-1的点的权值也会被更新：注意i+1 - n-1的点们的权值必为负值，他的绝对值是指，当前点与已经记录的点之间形成的点对数量。

3.除开第一次外层循环，每次外层循环i中，对w{i}的更新都是两部分：第一是当前点i与边右面的点之间形成的点对数，这个是用内层循环做的；第二是0 - i-1的点们与边右面的点之间形成的点对数，这个信息已经被w[i-1]存储，但信息不是都需要的，需要除开0 - i-1的点们与点i之间形成的点对数，而这个需要除开的数量刚好就是当前w[i]存的负值的绝对值。

动态规划

这是第二种用法，python3代码。思路与上一种完全一样，但具体细节实现有所不同。

首先重点理解下我这句话，要得到一个数x和一个数的数组yArray之间可以形成多少个点对，只需要得到yArray的长度减去yArray中x的数量。

使用了collections.Counter()，是计数器的功能，可以得到一个键值key出现的次数。

import collections
 
n = eval(input())
a = list(map(int,input().split()))
 
lw = collections.Counter()
l_count = 0
rw = collections.Counter(a)
r_count = n
res = [0] * (n-1)
for i in range(n-1):
    lw[a[i]] += 1
    l_count += 1
    rw[a[i]] -= 1
    r_count -= 1
    res[i] = res[i-1] + (r_count - rw[a[i]]) - (l_count - lw[a[i]])
    #第0次循环不需要单独加判断，因为res[-1]=res[0]=0
 
print( ' '.join(map(str,res)))

和上一种代码一样，在每次循环i中，(r_count - rw[a[i]])代表了当前点i与边右面的点之间形成的点对数。res[i-1] - (l_count - lw[a[i]])代表0 - i-1的点们与边右面的点之间形成的点对数，这个信息已经被res[i-1]存储，但需要除开一部分信息即0 - i-1的点们与点i之间形成的点对数，需要除开的信息刚好就是(l_count - lw[a[i]])，注意lw[a[i]])至少为1。

再解释一下，这个需要除开的信息，就是，边左面的点的数量减去边左面的点中a[i]出现的次数，即为0 - i-1的点们与点i之间形成的点对数。