补码、补码非快速计算

补码高有效位大部分是1

以补码为1101为例：

$-2^3$	$2^2$	$2^1$	$2^0$
1	1	0	1

所以补码1101的十进制数值为-8+4+1 = -3。

拓展补码的位表示：
如果要将补码拓展转换为更大的数据类型，那么就在新增的高有效位中填充，原始最高有效位的值。推导如下：
先拓展1位：

$-2^4$	$2^3$	$2^2$	$2^1$	$2^0$
1	1	1	0	1

原来第4位的权值为-8，现在拓展后的第4位和第5位的权值和为-16+8 = -8，就相当于没拓展一样。所以很明显补码1 1101的数值还是为-3。
直接拓展4位：

$-2^7$	$2^6$	$2^5$	$2^4$	$2^3$	$2^2$	$2^1$	$2^0$
1	1	1	1	1	1	0	1

原来第4位的权值为-8，现在拓展后的第4位到第8位的权值和为-128+64+32+16+8 = -8，就相当于没拓展一样。所以很明显补码1111 1101的数值还是为-3。

缩减补码的位表示：
反向思考，既然可以拓展位表示，那么其实也可以缩减位表示。
减小1位：

$-2^2$	$2^1$	$2^0$
1	0	1

现在计算权值-4+1 = -3。发现缩减位表示后，十进制数值还是不变的。但是这种缩减是有前提的：从第一个1开始，到遇到的第一个0之前的1结束，也就是说，第一个0之前在缩减之后，必须至少有一个1。

补码1111的数值是-1，按照上面的定义，因为没有0，那么可以缩减到补码1，其数值也是-1。

$-2^3$	$2^2$	$2^1$	$2^0$
1	1	1	1

-8+4+2+1=-1

$-2^0$

1

-1 = -1

例题：
计算补码0xfffffffa的十进制数值。
因为0xf是1111，所以直接缩减这个补码的位表示，0xa是1010，那么实际上这个补码的位表示可以简化为1010，即-8+2=-6。

计算补码非：取反加1

本章以及下一章内容来自《深入理解计算机系统》练习题2.33后的网络旁注：补码非的位级表示

问题：给定一个数x的补码位表示，请给出-x的补码位表示。
原理：-x的补码位表示，即为x的补码位表示的每位取反再加1，最后再按照最低4位有效位截断。
示例表格：

$\vec x$	$\sim \vec x$	$incr(\sim \vec x)$
[0101] 5	[1010] -6	[1011] -5
[0111] 7	[1000] -8	[1001] -7
[1100] -4	[0011] 3	[0100] 4
[0000] 0	[1111] -1	[0000] 0
[1000] -8	[0111] 7	[1000] -8

总结：
1）一个补码x的位表示取反后，其值为-x-1。因为-x的补码位表示比x的位表示取反多1。
2）-8为4位二进制int的INT_MIN，注意到x=-8，而-x也=-8，这是特殊情况，这里是因为正溢出了，具体原理见上一篇博客深入理解计算机系统》 练习题2.32。

例题：
计算补码0xfffffffa的十进制数值x。
那么直接利用本章原理，直接得到-x的补码位表示：过程如下
…1111 1010 （省略号代表好多个1，取反后为）
…0000 0101 （省略号代表好多个0，加1后为）
…0000 0110 （符号位在前面呢，后面的1都是正的权值）
所以-x = 4+2 = 6，既然-x=6，那么x = -6。

计算补码非：最右1之前取反

问题：给定一个数x的补码位表示，请给出-x的补码位表示。
原理：-x的补码位表示，即为前者中最右边的1之前的所有位取反（不包括最右1本身）。
示例表格：

$x$	$- x$
[1100] -4	[0100] 4
[1000] -8	[1000] -8
[0101] 5	[1011] -5
[0111] 7	[1001] -7
[0000] 0	[0000] 0

最右1被标注为斜体。
注意最后一行，因为没有一个1，所以没有位需要取反。