《深入理解计算机系统》 练习题2.42-2.44 补码除以2的幂

补码除以2的幂

具体讲解在书里。这里直接给几个结论：
1）有符号数即补码数执行的是，算术右移。

2）有变量x和$2^k$(0<=k<w)，那么$x &gt;&gt;k$将产生数值$\lfloor {x/2^k} \rfloor$。

3）正常来说，除法是向零取整，而不是固定的向下取整。所以为了负数除法有正确的结果，在移位前加偏置。所以，当x为负数时，将执行$(x + (1&lt;&lt;k)-1) &gt;&gt;k$产生数值$\lceil {x/2^k} \rceil$。
将$2^k$当做y，所以就是$\lceil x/y \rceil$=$\lfloor (x+y-1)/y \rfloor$

关于第3条结论，除了书中给出的证明，这里给出一个直观上的解释：
$(x+y-1)/y =\frac{x}{y} + \frac{y-1}{y}$
假如$\frac{x}{y}$现在是一个负的小数，y为4，$\frac{x}{y}$且可以分解为-3和$\frac{1}{4}$，本来-2.75向下取整是-3，就不是向零取整了。但这里再加上一个$\frac{3}{4}$，结果就会变成-2，再向下取整，也是正确的结果-2了。
而且上面的分解过程，$\frac{？}{4}$是大于等于$\frac{1}{4}$，小于等于$\frac{4-1}{4}$，所以肯定能保证正确结果。

2.42原理

当x为非负数时，不加偏置。因为此时的向下取整就是向零取整。
当x为负数时，加偏置。

具体来说，就是得到x的符号位上的值是0还是1，如果是1，那么就要加上偏置$2^{4}-1$即15。

2.42代码

int book_div16(int x)
{
        /* Compute bias to be either 0 (x >= 0) or 15 (x < 0) */
        int bias = (x >> 31) & 0xF;//右移31位后，32位上面都是符号位的值
        //如果为非负数，符号位为0，bias变量为0
        //如果为负数，符号位为1，bias变量为0xF，即15
        return (x + bias) >> 4;
}

如上为原书实现。

2.43

先看M:
代码等价于x = x * 32 -x = x * 31.所以M为31.
再看N：
7 = $2^3$-1，最后的右移操作也是右移3位，所以N为$2^3$即8.

2.44

int x = foo();
int y = bar();
unsigned ux = x;
unsigned uy = y;
对于以下的各表达式，回答两个问题：(1)对于任意的x和y值，该表达式是否为true,
(2) 当x和y取什么值时为false

A. (x > 0) || (x-1 < 0)
当x为TMIN时，左边不符合条件，为0；右边负溢出为TMAX，正数不小于0，为0；此时为false

B. (x & 7) != 7 || (x<<29 < 0)
左边要求的是x的低3位不能都为1；右边要求第3位为1（先左移29位，所以有原始的低3位和29位个0组成，此时小于0，说明符号位为1，即原始的低3位的最高那个为1）；
低3位分两种情况：
1）除111外的所有情况：左边符合，必返回1，不用管右边。
2）111：左边不符合，但右边符合了，也返回1。
该表达式必为true。

C. (x * x) >= 0
很明显会出现正溢出，但这里和加法的溢出不一样，加法正溢出最多能获得第w+1位的权值$2^w$，且正溢出结果必为负数。
但这里就不一样了，因为乘积的结果可能很大。正溢出的结果也是可能正，可能负。
规律如下：
将乘积设为s，如果s-$2^w$为负数，那么s-$2^w$则为溢出结果。
如果s-$2^w$为非负数，那么(s-$2^w$)%$2^w$则为溢出结果。

	short a, b, c;
	a = b = 182;
	c = a * b;

182*182-65536=33124-65536=-32412

	short a, b, c;
	a = b = 270;
	c = a * b;

(270*270-65536)%65536=(72900-65536)%65536=7364%65536=7364

	short a, b, c;
	a = b = 400;
	c = a * b;

(400*400-65536)%65536=(160000-65536)%65536=94464%65536=28928
非要说原因的话，就是加法正溢出会导致第w位的值为1，而乘积正溢出就不一定了。

D. x<0 || -x <= 0
当x为0时，右边成立；
当x为[1,TMAX]，右边必成立；
当x为[TMIN+1,-1]，左边成立；
当x为TMIN，左右都成立；
综上，此表达式必为1.

E. x>0 || -x >= 0
当x为0时，右边成立；
当x为[1,TMAX]，左边成立；
当x为[TMIN+1,-1]，右边成立；
当x为TMIN，左右都不成立；

F. x+y == uy+ux
表达式中含有无符号数，所以左边也会转换为无符号数。等价于unsigned(x+y) == uy+ux.
在二进制上，无符号数和有符号数的加法是一样的，故都为真。
例如：x=y=-1,则ux=uy=$2^{32}-1$(TMAX).
x+y = -2 ,再转无符号明显是$2^{32}-2$（TMAX-1，除最低一位为0外，其余都为1）
x+y = ($2^{32}-1$)*2 - $2^{32}$ = $2^{33}$ - 2 - $2^{32}$ = $2^{32}-2$.

G. x*~y + uyux == -x
-y = ~y+1,故 ~y=-y-1, 左边= x(-y-1)+uyux = uyux - xy -x, 不管是无符号数还是有符号数，在二进制层面上相乘后截短后的结果都是相同的。故 uyux-x*y=0, 故结果都为真，道理同上。

参考链接：
[1] https://github.com/haiiiiiyun/book_exercises/blob/master/csapp-v3/chap2/2.43-2.54.txt