博弈问题总结
什么是组合游戏——
(1) 有两个玩家；
(2) 游戏的操作状态是一个有限的集合（比如：限定大小的棋盘）；
(3) 游戏双方轮流操作；
(4) 双方的每次操作必须符合游戏规定；
(5) 当一方不能将游戏继续进行的时候，游戏结束，同时，对方为获胜方；
(6) 无论如何操作，游戏总能在有限次操作后结束；
概念:必败点和必胜点(P点 & N点)
(1) 所有终结点是必败点（P点）；
(2) 从任何必胜点（N点）操作，至少有一种方法可以进入必败点（P点）；
(3)无论如何操作， 从必败点（P点）都只能进入必胜点（N点）.
取子游戏算法实现——
步骤1:将所有终结位置标记为必败点（P点）；
步骤2: 将所有一步操作能进入必败点（P点）的位置标记为必胜点（N点）
步骤3:如果从某个点开始的所有一步操作都只能进入必胜点（N点） ，则将该点标记为必败点（P点） ；
步骤4: 如果在步骤3未能找到新的必败（P点），则算法终止；否则，返回到步骤2。
kiki's game hdu
题意：一开始在1，m的地方。每次可以往下，左下，左走一步，走到无法走的时候就输
当前步赢的条件是下一步有输的状态
用以上思想模拟，然后打出表来，找规律就能得出结论：n，m两个中有个是偶数就先手胜利。
Nim游戏简介
有两个玩家；
有三堆扑克牌（比如：可以分别是 5，7，9张）；
游戏双方轮流操作；
玩家的每次操作是选择其中某一堆牌，然后从中取走任意张；
最后一次取牌的一方为获胜方；
引入概念：Nim-Sum
定义: 假设 (xm · · · x0)2 和(ym · · · y0)2 的nim-sum是(zm · · · z0)2,则我们表示成 (xm · · · x0)2 ⊕ (ym · · · y0)2 = (zm · · · z0)2, 这里，zk = xk + yk (mod 2)（k=0…m）
对于nim游戏的某个位置(x1,x2,x3),当且仅当它各部分的nim-sum等于0时（即x1⊕x2⊕x3=0），则当前位于（P点）。
定理一也适用于更多堆的情况～
Being a Good Boy in Spring Festival hdu
下面是一个二人小游戏：桌子上有M堆扑克牌；每堆牌的数量分别为Ni(i=1…M)；两人轮流进行；每走一步可以任意选择一堆并取走其中的任意张牌；桌子上的扑克全部取光，则游戏结束；最后一次取牌的人为胜者。
现在我们不想研究到底先手为胜还是为负，我只想问大家：
——“先手的人如果想赢，第一步有几种选择呢？”
一.
如果a1^a2^a3^...^an=0( 即 : nim-sum=0) , 说明先手没有必赢策略, 方法数肯定为 0;
二.
假设先手的人有必赢策略。
问题则转化为=>在任意一堆拿任意K张牌，并且剩下所有堆的nim-sum=0(P-position)的方案总数。
1. 现在我们先看一个例子(5,7,9)，并假设从第一堆取任意K张牌。
排除第一堆牌的nim-sum为 7^9=14
0111
^1001
-------
1110
如果要使所有堆的nim-sum=0成立，则第一堆取掉K张以后必定为1110，因为X^X=0。所以要观察 5-k=14 k>0 成立,此例子(在第一堆取任意K张牌)明显的不成立。但并不代表在第二或第三堆取任意K张牌的解不成立。
2. 现在看第二个例子(15,7,9)，并假设从第一堆取任意K张牌。
排队第一堆牌的nim-sum为7^9=14，和第一个例子相同，所以问题变为观察 15-k=14 k>0 是否成立。当然这个例子是成立的。
三.
总结得出：
在任意一堆拿任意K张牌，并且所有堆的nim-sum=0 成立的条件为：排除取掉K张牌的那一堆的nim-sum必须少于该堆牌上的数量(例子二)，否则不能在此堆上取任意K张牌使所有堆的nim-sum=0成立(例子一)。
故总方案数为 ( 在任意一堆拿任意K张牌，并且所有堆的nim-sum=0 成立 ) 的总数。
Graph Game &
S-G函数
(1) 有向无环图
(2) 玩家1先移动，起点是x0
(3) 两个玩家轮流移动
(4) 对于顶点x, 玩家能够移动到的顶点集记为F(x).
(5) 不能移动的玩家会输掉游戏
首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、 mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
定义: 一个图的Sprague-Grundy函数(X,F)是定义在X上的非负函数g(x)，并且满足：
g(x) = mex{g(y) : y∈F(x)}
P-点: 即令 g(x) = 0 的 x 点！
N-点: 即令 g(x) > 0 的 x 点！
Sums of Combinatorial Games
假设游戏 Gi的SG函数是gi, i=1,…,n, 则
G = G1 + … + Gn 的 SG函数是
g(x1,…,xn) = g1(x1)⊕…⊕gn(xn).
sg函数的一般模板
int mex(int x)
{
bool use[maxn]={0};
for(int i=0;i<sn;++i)
{
int t=x-s[i];
if(t<0)
break;
if(g[t]==-1)
g[t]=mex(t);
use[g[t]]=1;
}
for(int i=0;;++i)
{
if(!use[i])
return i;
}
}
S-Nim hdu
nim取子的变形，但每次取子的数量只能是是s中集合的元素，求先手是否能胜。
每堆石子求出sg值，然后进行异或运算就好了。
