beautiful number 数位DP codeforces 55D
题目链接:
http://codeforces.com/problemset/problem/55/D
数位DP
题目描述:
一个数能被它每位上的数字整除(0除外),那么它就是beautiful number。问区间[a,b]上有多少个beautiful number。如102就是一个beautiful number,因为它能整除1,2。14不是,因为14不能整除4.
解法:
数位DP,设dp[i][j][k]为累计到第i为,公倍数为j,模lcm(1,2,```,9)=2520的余数为k的数的个数。注意到两个事实,要求某个数能整除它的每一个非0位上的数字,那么等价于将这些数字求一个最小公倍数,如果这个数能整除它的最小公倍数,自然就是beautiful number。已知lcm(1,2,···,9) = 2520,一个数一定能写成k+2520*x这样的形式,其中0<k<2520。设组成这个数的非0数字的最小公倍数为j,就有(k+2520*x)%j = k%j.同时能知道2520的因子(不一定是素数因子)一共有48个,所以离散的存储这些数,同时用ra[i],记录在离散数组中的编号。
贴代码:
1 #include <cstdio> 2 #include <cstring> 3 const int mod = 2520; 4 using namespace std; 5 typedef long long int LL; 6 template<typename T>T gcd(T a,T b) 7 { 8 return b==0?a:gcd(b,a%b); 9 } 10 template<typename T>T lcm(T a,T b) 11 { 12 if(a*b == 0 ) return a?a:b; 13 return a/gcd(a,b)*b; 14 } 15 int ra[mod+5]; 16 int lm[50]; 17 LL dp[22][50][mod+5]; 18 int e[22]; 19 int p[22]; 20 void init() 21 { 22 e[0] =1; 23 for(int i=1; i<20; ++i) 24 e[i] = e[i-1]*10%mod; //e[i]表示10^i%2520的余数 25 int cnt=0; 26 for(int i=1; i<=mod; ++i) 27 if(mod%i == 0) lm[cnt] = i,ra[i] = cnt,++cnt;//记录2520的因子 28 //ra记录这个因子在离散化存因子中的编号 29 } 30 void onceInit() 31 { 32 init(); 33 dp[0][0][0] = 1; 34 for(int i=1; i<20; ++i) 35 { 36 for(int t=0; t<10; ++t) 37 { 38 for(int j=0; j<48; ++j) 39 { 40 int d = lcm(lm[j],t); 41 int jj = ra[d]; 42 for(int k=0; k<2520; ++k) 43 { 44 int kk = (t*e[i-1]+k)%mod; 45 dp[i][jj][kk] += dp[i-1][j][k]; 46 } 47 } 48 } 49 } 50 } 51 int splitInt(LL x)//将数拆成一位一位的存在p数组中 52 { 53 int i; 54 for(i=1; x; ++i) 55 p[i] = x%10,x /= 10; 56 return i; 57 } 58 LL solve(LL x)//统计从0-x中有多少个beautiful number,x不包含在内 59 { 60 LL ans =0; 61 int len = splitInt(x); 62 int cu1=1,cu2=0;//前面数的公倍数,余数 63 for(int i=len-1; i> 0; --i) 64 { 65 for(int t=0; t<p[i]; ++t) 66 { 67 for(int j=0; j<48; ++j) 68 { 69 int d = lcm(lm[j],t); 70 d = lcm(d,cu1);//这是真正的公倍数 71 int tmp = (cu2+t)*e[i-1]%d;//k+tmp = l*d这样的k会是解 72 for(int k=(d-tmp)%d; k < 2520; k +=d) 73 ans += dp[i-1][j][k]; 74 } 75 } 76 cu1=lcm(cu1,p[i]);//更新前面的余数和倍数 77 cu2 = (cu2+p[i])*10%mod; 78 } 79 return ans; 80 } 81 int main() 82 { 83 // freopen("in.c","r",stdin); 84 onceInit(); 85 int t; 86 scanf("%d",&t); 87 while(t--) 88 { 89 LL a,b; 90 scanf("%I64d%I64d",&a,&b); 91 printf("%I64d\n",solve(b+1) - solve(a)); 92 } 93 return 0; 94 }