HDU 4662 MU Puzzle 数论或者水题

题目链接：

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4662

题目是问目标串能否由MI得到，我们可以逆向思维，目标串能否反过来处理得到MI，所以，首先排除M没有出现或者出现超过一次，或者只出现了一次但没有出现在第一个位置的情形····也就是说只剩下第一个位置是M，然后不再出现M的情形····

接下来思考如何得到I，既然要得到I，U必然要化成I，一个U相当于3个I，接下来还可以每次添加UU，相当于添加了6个I,这样当I的个数能凑成2^k,k>=0时，就是解

问题转化为如下：

关于x + 6*y = 2^k中x的整数解

问题描述：

当x取何值时，一定能找到一对y,k,其中y>=0,k>=0,y,k都是整数，来满足 x + 6*y = 2^k。

答案：

x= 1,或者x%6 =2 或者x%6 =4.

证明：

显然当x = 1时，y=0,z=0时满足条件，x=1是解。

现在只考虑x>1的情形。

当x>1时，如果x为解。

那么x = 2^k-6*y。k>0····

注意到8%6 = 2

那么k个2(k>0)相乘后的积%6 一定为2或4。

那么x%6 = (2^k-6*y)%6 = 2^k %6 = 2或4。

这就证明了如果x是解，要么x =1,否则x%6=2或4.

那么是不是凡是%6=2或4的就一定是解呢···答案是肯定的。

先考虑2+6*q的情形

2+6*q+6*y = 2^k

3(q+y)+1 = 2^p , p =k-1

注意要4%3=1，由此得到2^(2t)%3 = 1,2^(2t+1)%3 = 2.

上面的式子必然成立。

4+6*q的情形同样可以证明。

事实上，可以从另外一个角度思考，1必然是解,当x>=1时，如果(2^k-x)%6=2^k%6 - x%6 = 0,，注意到2^k%6=2或4，所以除非x%6=2或者4，否则等式不会成立

贴代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define N 1000007
char a[N];
int main()
{
//    freopen("in.c","r",stdin);
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0; i<n; ++i)
    {
        scanf("%s",a);
//        printf("%s\n",a);
        int len=strlen(a);
        int cnt =0;
        if(a[0] !='M')
        {
            printf("No\n");
            continue;
        }
        bool flag = true;
        for(int j=1; j<len; ++j)
        {
            if(a[j] == 'M')
            {
                flag = false;
                break;
            }
            if(a[j] == 'U')
                cnt += 3;
            else
                ++cnt;
        }
        if(!flag)
        {
            printf("No\n");
            continue;
        }
        if(cnt == 1)
        {
            printf("Yes\n");
            continue;
        }
//        printf("cnt=%d\n",cnt);
        if(cnt%6 == 2 || cnt%6 == 4)
            flag =true;
        else flag =false;
        if(flag)
            printf("Yes\n");
        else
            printf("No\n");
    }
    return 0;
}