Havel-Hakimi定理（判断一个序列是否可图）

判断一个有限序列是否是可图的，有Havel-Hakimi定理：

由非负整数组成的非增序列s:d1,d2,~~~(省略号)，dn(n>=2,d1>=1)

是可图的，当且仅当序列：

s1:d2-1,d3-1,~~~,d(d1+1) - 1,d(d1+2),~~~,dn是可图的。

序列s1中有n-1个非负整数，s序列中d1后的前d1个度数减1后构成s1中的前d1个数。

据此定理可以根据一个序列构造出相应的图（结果不唯一）

实例：POJ 1659 青蛙的邻居

注意：给每个顶点先编好号

 

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#define N 15
struct vertex
{
    int degree;      // 顶点的度
    int index;        //顶点的序号
} V[N];
int cmp(const void *a,const void *b)   //qsort中的cmp,逆序
{
    return ((vertex *)b)->degree -((vertex *)a)->degree;
}
int main()
{
    int t;
    int edge[N][N];   //图的邻接矩阵
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        int flag = 2;  //用来标记判断结果
         int n;  //
        memset(edge,0,sizeof(edge));
//        freopen("in.cpp","r",stdin);
//        freopen("out.cpp","w",stdout);
        scanf("%d",&n);
        for(int i=0; i<n; i++)
        {
            scanf("%d",&V[i].degree);
            V[i].index = i;    //按输入顺序给湖泊编号
        }
        for(int k=0; k<n; k++)
        {
            qsort(V+k,n-k,sizeof(vertex),cmp); //对V数组后n-k个元素按非递增顺序排序
            if(V[k].degree > n-k-1 || flag == 0)   //不合理情形1：最大的度数超过了剩下的顶点数
            {
                flag = 0;
                break;
            }
            if(V[k].degree == 0 && flag != 0)   //序列中最大的数为0，且没有不合理情形，该序列可图
            {
                flag = 1;
                break;
            }
            for(int r = k+1; r < k+1+V[k].degree; r++)
            {
                V[r].degree--;
                if(V[r].degree< 0)   //不合理情形2：序列中出现了负数
                {
                    flag = 0;
                    break;
                }
                edge[V[k].index][V[r].index] = edge[V[r].index][V[k].index] = 1;
            }
        }
        if(flag == 1)
        {
            puts("YES");
            for(int r=0; r<n; r++)
            {
                for(int d = 0; d<n; d++)
                {
                    printf("%d",edge[r][d]);
                    if(d != n-1)
                        printf(" ");
                }
                puts("");
            }
        }
        else
        {
            puts("NO");
        }
        if(t != 0)  puts("");
    }
    return 0;
}