欧拉函数及欧拉定理
欧拉函数
定义
- 对于一个数n，\(\varphi(n)\)是小于n的所有正整数中与n互质的数的个数
- 定义式：$\varphi(n)=n*\frac{p_{1}-1}{p_{1}} * \frac{p_{2}-1}{p_{2}} \cdots $
\(p_{i}\)是n的所有质因子 注意：一种质因子只能乘一次 - 定义域：\(N^{*}\)
性质
- \(\varphi(1)=1\)
- 对于一个质数p，\(\varphi(p)=p-1\)
- 如果p、q为质数，则有\(\varphi(p * q)=\varphi(p) * \varphi(p)=(p-1) * (q-1)\)，即欧拉函数是积性的
- 如果p为质数，则有\(\varphi(p^{k})=p^{k}-p^{k-1}\)
- 对于正整数n，有\(\sum_{h|n}\varphi(h)=n\)
- 对于互质的两个数a、b，\(\varphi(a * b)=\varphi(a) * \varphi(b)\)
- 如果\(a|b\),则\(\varphi(a * b)=\varphi(b) * a\)
求解
单个欧拉函数的求解
- 直接使用定义式暴力枚举每个质因子，时间复杂度\(O(\sqrt{n})\)
cin>>n;
int res=n;
for(int i=2;i*i<=n;i++)
{
if(!(n%i))
{
res=res*(i-1)/i;
while(!(n%i)) n/=i;
}
}
if(n>1) res=res*(n-1)/n;//注意，这一行必须加，这里证明还有一个质因数没算
欧拉筛线性求欧拉函数
- 通过欧拉筛，筛出质数后运用性质5、6求出线性范围内的所有数的欧拉函数
vector <int> q;
int tot=0;
cin>>n;//范围
vis[0]=vis[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(!vis[i])//如果是质数，则初始化其欧拉函数并将其压入q中
{
phi[i]=i-1;
q.push_back(i),tot++;
}
for(int j=0;j<tot&&i*q[j]<=n;j++)//枚举所有质数
{
vis[i*q[j]]=1;
if(!i%q[j])
{
phi[i*q[j]]=phi[i]*q[j];//性质6
break;//i已经包含了q[j]的所有质因子，再继续枚举一定全是重复的
}
else phi[i*q[j]]=phi[i]*phi[q[j]];//性质5.由于q[j]是质数，所以如果i不整除q[j],因此二者一定互质
}
}
例题
- Mr.Hu 最近在研究等比数列，即形如：
$ a^{0} , a^{1} , a^{2} , \cdots , a^{n} , \cdots $
现在，Mr.Hu 想知道，对于给定的非负整数 a，上面这个无穷数列在模 mod 意义下有多少项是本质不同的。(保证 gcd(a, mod) = 1)。
对于 30% 的数据，0 ≤ a ≤ \(10^{3}\)，1 ≤ mod ≤ \(10^{3}\)；
对于 100% 的数据，0 ≤ a ≤ 2 × \(10^{9}\)，1 ≤ mod ≤ 2 × \(10^{9}\)，且保证 gcd(a, mod) = 1，1 ≤ T ≤ 100。 - 设\(a^{x}\equiv 1 (mod p)\),则显然再继续乘是循环的，因此求出最小的x后,由于指数是从0开始的，因此就有x种不同的答案
由于欧拉定理\(a^{\varphi(p)}\equiv 1（mod p）\)，因此在\(x=\varphi(p)\)时是一定有解的
现在的问题就是如何去由这个特解去求最小解
这里有一个很暴力的做法，就是去枚举\(\varphi(p)\)的所有因数。暴力去check这个因数是否合法
由于因数最多只有$ \sqrt{p} $个，因此时间复杂度为 $ O ( T\sqrt{p}log_{p} ) $
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll ksm(ll x,ll k,ll p)
{
ll res=1;
while(k)
{
if(k&1) res=res*x%p;
k>>=1;x=x*x;x%=p;
}
return res;
}
int main()
{
int T;
cin>>T;
while(T--)
{
ll a,p,phi=0,n;
scanf("%lld%lld",&a,&p);
phi=n=p;
for(ll i=2;i<=sqrt(n)+1;i++)
{
if(!(n%i))
{
phi=phi*(i-1)/i;
while(!(n%i)) n/=i;
}
}
if(n>1) phi=phi*(n-1)/n,n=1;
ll res=phi;bool fo=0;
for(ll i=1;i*i<=phi;i++)
{
if(!(phi%i))
if(ksm(a,i,p)==1)
{
res=i;break;
}
else if(ksm(a,phi/i,p)==1) res=phi/i; //这里取了个巧，同时算大和小的因数
}
if(!fo) printf("%lld\n",res);
}
return 0;
}
欧拉定理
若 \(\gcd(a,p)=1\)，则
$$
a^c\equiv a^{c\bmod \varphi(p)}\pmod p
$$
当 \(p\) 为质数时，显然有 \(a^{p-1}=1\)，即费马小定理。也就是说费马小定理是欧拉定理的特殊情况。
扩展欧拉定理
\[ a^c\equiv\begin{cases}a^{c\bmod \varphi(p)} &\gcd(a,m)=1\\
a^c &\gcd(a,m)\neq 1 \land c< \varphi(p)\\
a^{c\bmod \varphi(p)+\varphi(p)} &\gcd(a,m)\neq 1 \land c\ge \varphi(p)
\end{cases}
\pmod p
\]
欧拉反演（？）
由
\[n=\sum_{h|n}\varphi (h)
\]
有
\[gcd(a,b)=\sum_{h|gcd(a,b)}\varphi(h)=\sum_d[d|a][d|b]\varphi (d)
\]
这当然只是一种特殊的形式，但是这个东西在处理和式的时候很常用。因为这个欧拉函数的 \(\sum\) 大概率可以提到前面去。
P2398 GCD SUM
求
\[\sum_i^n\sum_j^n gcd(i,j)
\]
转化一下就好了。
\[\begin{aligned}
原式 & =\sum_i\sum_j\sum_d[d|i][d|j]\varphi(d) \\
& = \sum_d\varphi(d)\sum_i\sum_j[d|i][d|j]\\
& = \sum_d\varphi(d)\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor^2\\
\end{aligned}
\]
然后就可以暴力了。
code
这里没有用线性筛去筛欧拉函数，而是暴力，因为能过。
点击查看代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long phi[100005];
long long ans=0;
void getphi(int n)
{
for(int i=1;i<=n;i++) phi[i]=i;
for(int i=2;i<=n;i++)
if(phi[i]==i)
for(int j=i;j<=n;j+=i) phi[j]=phi[j]*(i-1)/i;
}
int main()
{
long long n;cin>>n;
getphi(n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
ans+=1ll*phi[i]*(n/i)*(n/i);
}
cout<<ans<<endl;
}
裴蜀定理
对于不全为0的整数 \(a,b\)，
- \(\forall x,y\qquad gcd(a,b)|ax+by\)
- \(\exists x,y\qquad ax+by=gcd(a,b)\)
逆定理：
若 \(d>0\) 是 \(a,b\) 的公因数，使得 \(ax+by=d\)，则 \(d=gcd(a,b)\)。
特别的，若存在 \(ax+by=1\)，则 \(a,b\) 互质。
在多个整数的情况下，裴蜀定理及其逆定理仍然成立。
进一步的，对于 \(C=ab-a-b\)，有
0可以被表示。
\(C\) 不能被表示。
负数不能被表示。
大于 \(C\) 的数可以被表示。
大于0小于 \(C\) 的一个数 \(n\)，\(C-n\) 与 \(n\) 有且仅有一个可以被表示。
其中对于任意一个整数 \(n\)，其可以被表示的定义是存在自然数 \(x,y\) 使得 \(ax+by=n\)。
浙公网安备 33010602011771号