欧拉函数
定义
- 对于一个数n，\(\varphi(n)\)是小于n的所有正整数中与n互质的数的个数
- 定义式：$\varphi(n)=n*\frac{p_{1}-1}{p_{1}} * \frac{p_{2}-1}{p_{2}} \cdots $
\(p_{i}\)是n的所有质因子 注意：一种质因子只能乘一次 - 定义域：\(N^{*}\)
性质
- \(\varphi(1)=1\)
- 对于一个质数p，\(\varphi(p)=p-1\)
- 如果p、q为质数，则有\(\varphi(p * q)=\varphi(p) * \varphi(p)=(p-1) * (q-1)\)
- 如果p为质数，则有\(\varphi(p^{k})=p^{k}-p^{k-1}\)
- 对于正整数n，有\(\sum_{h|n}\varphi(h)=n\)
- 对于互质的两个数a、b，\(\varphi(a * b)=\varphi(a) * \varphi(b)\)
- 如果\(a|b\),则\(\varphi(a * b)=\varphi(b) * a\)
求解
单个欧拉函数的求解
- 直接使用定义式暴力枚举每个质因子，时间复杂度\(O(\sqrt{n})\)
cin>>n;
int res=n;
for(int i=2;i*i<=n;i++)
{
if(!(n%i))
{
res=res*(i-1)/i;
while(!(n%i)) n/=i;
}
}
if(n>1) res=res*(n-1)/n;//注意，这一行必须加，这里证明还有一个质因数没算
欧拉筛线性求欧拉函数
- 通过欧拉筛，筛出质数后运用性质5、6求出线性范围内的所有数的欧拉函数
vector <int> q;
int tot=0;
cin>>n;//范围
vis[0]=vis[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(!vis[i])//如果是质数，则初始化其欧拉函数并将其压入q中
{
phi[i]=i-1;
q.push_back(i),tot++;
}
for(int j=0;j<tot&&i*q[j]<=n;j++)//枚举所有质数
{
vis[i*q[j]]=1;
if(!i%q[j])
{
phi[i*q[j]]=phi[i]*q[j];//性质6
break;//i已经包含了q[j]的所有质因子，再继续枚举一定全是重复的
}
else phi[i*q[j]]=phi[i]*phi[q[j]];//性质5.由于q[j]是质数，所以如果i不整除q[j],因此二者一定互质
}
}
例题
- Mr.Hu 最近在研究等比数列，即形如：
$ a^{0} , a^{1} , a^{2} , \cdots , a^{n} , \cdots $
现在，Mr.Hu 想知道，对于给定的非负整数 a，上面这个无穷数列在模 mod 意义下有多少项是本质不同的。(保证 gcd(a, mod) = 1)。
对于 30% 的数据，0 ≤ a ≤ \(10^{3}\)，1 ≤ mod ≤ \(10^{3}\)；
对于 100% 的数据，0 ≤ a ≤ 2 × \(10^{9}\)，1 ≤ mod ≤ 2 × \(10^{9}\)，且保证 gcd(a, mod) = 1，1 ≤ T ≤ 100。 - 设\(a^{x}\equiv 1 (mod p)\),则显然再继续乘是循环的，因此求出最小的x后,由于指数是从0开始的，因此就有x种不同的答案
由于欧拉定理\(a^{\varphi(p)}\equiv 1（mod p）\)，因此在\(x=\varphi(p)\)时是一定有解的
现在的问题就是如何去由这个特解去求最小解
这里有一个很暴力的做法，就是去枚举\(\varphi(p)\)的所有因数。暴力去check这个因数是否合法
由于因数最多只有$ \sqrt{p} $个，因此时间复杂度为 $ O ( T\sqrt{p}log_{p} ) $
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll ksm(ll x,ll k,ll p)
{
ll res=1;
while(k)
{
if(k&1) res=res*x%p;
k>>=1;x=x*x;x%=p;
}
return res;
}
int main()
{
// freopen("group.in","r",stdin);
// freopen("group.out","w",stdout);
int T;
cin>>T;
while(T--)
{
ll a,p,phi=0,n;
scanf("%lld%lld",&a,&p);
phi=n=p;
for(ll i=2;i<=sqrt(n)+1;i++)
{
if(!(n%i))
{
phi=phi*(i-1)/i;
while(!(n%i)) n/=i;
}
}
if(n>1) phi=phi*(n-1)/n,n=1;
ll res=phi;bool fo=0;
for(ll i=1;i*i<=phi;i++)
{
if(!(phi%i))
if(ksm(a,i,p)==1)
{
res=i;break;
}
else if(ksm(a,phi/i,p)==1) res=phi/i; //这里取了个巧，同时算大和小的因数
}
if(!fo) printf("%lld\n",res);
}
return 0;
}
