数据结构之树（Huffman tree(赫夫曼树 / 霍夫曼树 / 哈夫曼树 / 最优二叉树)）

合集 - 数据结构与算法(24)

1.算法衡量优劣之时间复杂度2023-09-052.数据结构与算法之概念2023-09-013.算法衡量优劣之空间复杂度2023-09-064.数据结构之数组2023-09-065.数据结构之链表2023-09-116.数据结构之栈2023-09-147.N-皇后问题2023-09-198.算术表达式的表示法（即求值法）2023-09-249.算术表达式求值法（表达式求值）之前序表示法求值2023-09-2510.算术表达式求值法（表达式求值）之后序表示法求值2023-09-2711.数据结构之队列（一般队列）2023-10-0812.数据结构之队列（循环队列）2023-10-1113.数据结构之队列（双向队列）2023-10-1414.数据结构之树（基本概念）2023-10-2415.数据结构之树（二叉树）2023-10-29

16.数据结构之树（Huffman tree(赫夫曼树 / 霍夫曼树 / 哈夫曼树 / 最优二叉树)）2023-10-31

17.数据结构之树（二叉树的存储方式之数组）2023-11-0218.数据结构之树（二叉树的存储方式之链表）2023-11-0519.数据结构之树（遍历）2023-11-0520.数据结构之树（二叉运算树）2023-11-0721.数据结构之树（二叉搜索树）2023-11-0822.数据结构之树（线索树）2023-11-1123.数据结构之树（树转化为二叉树也叫二叉化）2023-11-1224.确定唯一二叉树2023-11-12

收起

赫夫曼树概述

HuffmanTree因翻译不同导致其有多个名字：赫夫曼树、霍夫曼树、哈夫曼树

赫夫曼树又称最优二叉树，是一种带权路径长度 最短的二叉树。

所谓树的带权路径长度，就是树中所有的叶结点的权值乘上其到根结点的路径长度（若根结点为0层，叶结点到根结点的路径长度为叶结点的层数）。

树的路径长度是从树根到每一结点的路径长度之和，记为WPL=（W1L1+W2L2+W3L3+…+WnLn），N个权值Wi（i=1,2,…n）构成一棵有N个叶结点的二叉树，相应的叶结点的路径长度为Li（i=1,2,…n）。可以证明赫夫曼树的WPL是最小的。

术语

1. 路径

路径是指从一个节点到另一个节点的分支序列。

2. 路径长度

指从一个节点到另一个结点所经过的分支数目。 如下图：从根节点到a的分支数目为2

 

3. 树的路径长度

树中所有结点的路径长度之和为树的路径长度PL。 如下图：PL为10

根节点到A的父节点为1

根节点到C的父节点为1

根节点到A节点为2

根节点到B节点为2

根节点到C节点为2

根节点到D节点为2

 

4. 节点的权

给树的每个结点赋予一个具有某种实际意义的实数，我们称该实数为这个结点的权。如下图：7、5、2、4

 

5. 带权路径长度

从树根到某一结点的路径长度与该节点的权的乘积，叫做该结点的带权路径长度。如下图：A的带权路径长度为2*7=14

 

6. 树的带权路径长度（WPL）

树的带权路径长度为树中所有叶子节点的带权路径长度之和

 

7. 最优二叉树

权值最大的节点离根节点越近的二叉树，所得WPL值最小，就是最优二叉树。如下图：（b）A节点权值最大（为9）且离根节点最近

 

 

• （a）WPL=9*2+4*2+5*2+2*2=40
• （b）WPL=9*1+5*2+4*3+2*3=37

构造赫夫曼树步骤

对于数组{5,29,7,8,14,23,3,11}，把它构造成赫夫曼树。

第1步：使用数组中所有元素创建若干个二叉树节点，这些值作为节点的权值。

 

第2步：将这些节点按照权值的大小进行排序

 

第3步：取出权值最小的两个节点，并创建一个新的节点作为这两个节点的父节点，这个父节点的权值为两个子节点的权值之和。将这两个节点分别赋给父节点的左右节点。

 第4步：删除这两个节点，将父节点添加进集合里

 

第5步：重复第二步到第四步，直到集合中只剩一个元素，结束循环

 

代码实现

import java.util.ArrayList;
import java.util.Collections;
import java.util.List;

/**
 * 霍夫曼树
 */
public class TestHuffmanTree {
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {5, 29, 7, 8, 14, 23, 3, 11};
        Node node = createHuffmanTree(arr);
        System.out.println(node); //Node value=100
    }

    //创建赫夫曼树
    public static Node createHuffmanTree(int[] arr) {
        //使用数组中所有元素创建若干个二叉树（只有一个节点）
        List<Node> nodes = new ArrayList<>();
        for (int value : arr) {
            nodes.add(new Node(value));
        }

        //循环处理
        while (nodes.size() > 1) {
            //排序
            Collections.sort(nodes);
            //取出最小的两个二叉树（集合为倒叙，从大到小）
            Node left = nodes.get(nodes.size() - 1); //权值最小
            Node right = nodes.get(nodes.size() - 2); //权值次小
            //创建一个新的二叉树
            Node parent = new Node(left.value + right.value);
            //删除原来的两个节点
            nodes.remove(left);
            nodes.remove(right);
            //新的二叉树放入原来的二叉树集合中
            nodes.add(parent);
            //打印结果
            System.out.println(nodes);
        }
        return nodes.get(0);
    }
}

//接口实现排序功能
class Node implements Comparable<Node> {
    int value;
    Node left;
    Node right;

    public Node(int value) {
        this.value = value;
    }

    @Override
    public int compareTo(Node o) {
        return -(this.value - o.value); //集合倒叙，从大到小
    }

    @Override
    public String toString() {
        return "Node value=" + value;
    }
}

输出：

?

1 2 3 4 5 6 7 8

[Node value=29, Node value=23, Node value=14, Node value=11, Node value=8, Node value=7, Node value=8] [Node value=29, Node value=23, Node value=14, Node value=11, Node value=8, Node value=15] [Node value=29, Node value=23, Node value=15, Node value=14, Node value=19] [Node value=29, Node value=23, Node value=19, Node value=29] [Node value=29, Node value=29, Node value=42] [Node value=42, Node value=58] [Node value=100] Node value=100

　　

应用场景

赫夫曼树的典型应用场景是在数据压缩和编码中，尤其是在通信和存储领域。以下是赫夫曼树的典型应用场景：

1. 数据压缩：赫夫曼树广泛用于数据压缩算法，例如在ZIP、Gzip、JPEG、MP3等压缩文件格式中。数据压缩通过使用赫夫曼编码来减小数据的体积，从而节省存储空间和提高数据传输效率。频率高的字符或数据被编码为较短的比特串，而频率低的字符或数据被编码为较长的比特串。

2. 通信传输：在通信领域，赫夫曼编码可用于压缩数据以减小传输带宽的需求。这在网络通信、移动通信和卫星通信中非常重要，因为它可以减少数据传输的成本并提高传输速度。HTTPS通信中的数据也经常使用赫夫曼编码进行加密和压缩。

3. 图像压缩：JPEG图像压缩标准使用了一种称为"霍夫曼熵编码"的方法，其中赫夫曼编码用于压缩图像数据，减小图像文件的大小，同时保持图像质量。

4. 音频压缩：音频压缩算法如MP3也使用赫夫曼编码来减小音频文件的大小，同时保持音质。这使得音频文件更适合在互联网上流式传输和存储。

5. 文件压缩：文件压缩工具如ZIP和Gzip使用赫夫曼编码来压缩多种类型的文件。这些工具可以将多个文件或文件夹打包成一个单一的压缩文件，以节省存储空间和方便文件传输。

6. 数据存储：在一些数据库管理系统中，赫夫曼编码用于优化数据的存储和检索。赫夫曼编码可以减小存储数据所需的空间，同时提高数据检索的效率。

7. 数据传输的纠错：在一些通信协议中，赫夫曼编码还可以用于检测和纠正传输中的错误。这有助于提高数据传输的可靠性。

总之，赫夫曼树和赫夫曼编码在多个应用领域中都发挥了关键作用，减小了数据传输和存储的开销，提高了效率，并保持了数据的完整性和质量。